組分けの問題では、一見すると似た考え方でも正しく数えられる場合と重複して数えてしまう場合があります。特に「8人を4人・2人・2人に分ける問題」と「9人を3人・3人・3人に分ける問題」は比較されることが多く、なぜ片方では単純な組合せ計算が使えないのに、もう片方では使えるのか疑問に感じる人も少なくありません。この記事ではその違いを分かりやすく解説します。
8人を4人・2人・2人に分ける場合に起こる問題
8人の中から誰か1人を基準にしてペアを作り、さらに残りからもう1組のペアを作るという考え方では、同じ組分けが何度も数えられてしまいます。
例えばA-B、C-D、E-F-G-Hという組分けがあったとします。このとき最初にAを選んでBと組ませても、最初にBを選んでAと組ませても同じ組分けです。
さらに2組のペア同士も入れ替え可能なので、同じ結果が複数回現れます。そのため7C1×5C1では正しい答えになりません。
9人を3人ずつの3組に分ける場合の考え方
一方で、9人を3人ずつの3組に分ける問題では、特定の生徒を基準にすると重複が発生しにくくなります。
例えば9人をA〜Iとし、Aを含む組を最初に作ると考えます。A以外の8人から2人選ぶので8C2通りです。
次に残った6人のうち最も番号が小さい人を基準にして、その人と組む2人を選ぶと5C2通りになります。最後の3人は自動的に1組になります。
なぜ8C2×5C2が成立するのか
ポイントは「各組に基準となる人を固定している」ことです。
最初の組はAを必ず含みます。そのため同じ3人組を別の順序で選ぶことがありません。
次の組も残った人の中で特定の人を基準にするため、同じ組を重複して作ることがありません。結果として8C2×5C2=280通りがそのまま正しい組分け数になります。
具体例で比較してみる
例えばA・B・C、D・E・F、G・H・Iという組分けを考えます。
Aを基準とする方法では、最初の組は必ずAを含むのでB・Cを選ぶ1通りしかありません。
しかし基準を設けずに3人組を選ぶと、ABC、DEF、GHIとDEF、ABC、GHIは同じ組分けなのに別々に数えられてしまいます。
8C2×5C2の方法は、この重複を最初から避ける工夫になっています。
一般的な組分け問題の見分け方
組分け問題では「同じ組分けを何回数えているか」を確認することが重要です。
| 問題 | 注意点 |
|---|---|
| 4人・2人・2人 | 同じペアやペア同士の順序が重複する |
| 3人・3人・3人 | 基準となる人を固定すると重複を防げる |
計算式だけを見るのではなく、同じ組分けが何回登場するかを考える習慣を付けると理解しやすくなります。
まとめ
9人を3人ずつの3組に分ける問題で8C2×5C2が成立するのは、各組に基準となる人を固定することで重複が発生しないためです。
一方、8人を4人・2人・2人に分ける問題では、ペアの作り方やペア同士の順序による重複が発生するため、単純に7C1×5C1とはできません。
組分け問題では「何を固定したのか」と「同じ結果を何回数えているか」を確認することが正しい解法への近道です。
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