広義積分 ∫[1,∞] dx/(1+logx) の収束判定と考え方

広義積分の収束判定は、被積分関数の挙動を無限大での近似や比較を用いて行います。今回は ∫[1,∞] dx/(1+logx) を例に収束性を考察します。

1. 積分の形を確認する

被積分関数は f(x) = 1/(1+logx) です。x → ∞ のとき logx → ∞ となり、f(x) は 0 に近づきます。

しかし、単に 0 に近づくだけでは収束とは限りません。

大きな x に対して f(x) は 1/logx に近似できます。よって ∫[1,∞] dx/(1+logx) と ∫[1,∞] dx/logx を比較します。

置換 t = logx を行うと、dt = dx/x ⇒ dx = e^t dt。積分は ∫ dt/t となり、これは発散することが知られています。

比較積分の結果から、∫[1,∞] dx/(1+logx) も ∫ dt/t と同様に無限大に発散します。したがって、この広義積分は収束しません。

広義積分 ∫[1,∞] dx/(1+logx) は、被積分関数が十分速く減少しないため、発散します。比較積分法や置換積分を用いることで、無限大での挙動を分析し、収束・発散の判定が可能です。