関数の増減や極値を求めるとき、導関数の符号を確認する式変形に疑問を持つ人は少なくありません。特に、式の前半だけにマイナスが付く場合、その理由を理解することは、極値や増減の判定を正しく行う上で重要です。
導関数と増減の関係
関数f(x)の増減を調べる基本は導関数f'(x)の符号です。f'(x)>0なら増加、f'(x)<0なら減少と判断します。
式変形の段階でマイナスが前半だけにつく場合、それは導関数を因数分解したときの符号分離を意味しています。
符号を前半に集める理由
例えば、f'(x)=-2(x-3)(x+1) のような式を考えます。このとき、マイナス符号は式全体にかかっていますが、符号を見やすくするために前半にまとめることがあります。
計算上は、(-2)(x-3)(x+1) ＝ -(2)(x-3)(x+1) と書き換えるだけで、各因子の符号を簡単にチェックできます。これにより、どの区間で増加・減少かを矢印図で示す際に理解しやすくなります。
後半の因子にはマイナスをつけない理由
式全体にマイナスがかかっていれば、個々の因子の符号はそのままにしておく方が計算が簡単です。もし後半の因子にもマイナスを付けると、符号の計算が複雑になり、誤解の原因になります。
つまり、前半のマイナスは全体の符号を示し、後半の因子はそのまま符号判定の対象として扱うのが便利です。
具体例で理解する
例：f'(x) = -x(x-4)
-x(x-4) の符号を考えると、x<0 のとき -x>0、x-4<0 ならその符号は負。全体の符号は区間ごとに判定できます。
もし式を x(-1)(x-4) のように書き換えると、符号判断の手順が増えるだけで、特に利点はありません。
まとめ
関数の増減や極値を調べるとき、導関数の符号を因数分解して矢印図にする際、マイナスを前半に集めるのは計算の簡略化と視覚的理解のためです。後半の因子にはマイナスを付けず、そのまま符号判定に使うことで混乱を避けられます。式変形の段階での符号操作は、数学的に正確でありつつ、可読性を高める工夫だと理解すると良いでしょう。
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