数列の問題を解いていると、「まずn=1で成り立つことを確かめる」と書かれている場合があります。一方で、普通に一般項を求めたり和を計算したりする問題では、そのような確認をしないこともあります。この違いが分からず混乱する人は少なくありません。本記事では、なぜn=1を確かめる場合があるのか、どのような問題で必要になるのかをわかりやすく解説します。
「n=1を確かめる」のは数学的帰納法でよく出てくる
n=1を確かめる作業は、主に数学的帰納法という証明方法で使われます。
数学的帰納法では、まず最初の値であるn=1（または問題によってはn=2など）で命題が成り立つことを確認します。その後、「n=kで成り立つならn=k+1でも成り立つ」ことを示します。
これはドミノ倒しに例えられます。最初のドミノが倒れることを確認し、さらに1枚倒れたら次も倒れることを示せば、すべてのドミノが倒れるといえるからです。
一般項を求める問題では必ずしも確認しない
数列の一般項を求める問題では、証明ではなく計算や規則性の発見が目的です。
例えば、「1,3,5,7,…の一般項を求めよ」という問題では、an=2n-1と求めれば終了です。
この場合は数学的帰納法による証明ではないため、わざわざn=1を確かめる作業は求められないことが多いです。
なぜn≧2という条件が付くことがあるのか
数列には前の項を利用して定義される漸化式があります。
例えば、an=an-1+3という式は、n=2以降でなければ意味を持ちません。なぜなら、n=1を代入するとa0が必要になるからです。
そのため、問題文に「n≧2」と書かれている場合は、「この式は2項目以降にしか適用できません」という意味であることがあります。
n=1を確認するべき問題の見分け方
次のようなキーワードがあれば、n=1を確認する可能性が高いです。
- 数学的帰納法で証明せよ
- すべての自然数nについて示せ
- 命題が成り立つことを証明せよ
逆に、一般項を求める問題や数列の和を計算する問題では、必須ではないことが多いです。
具体例で考える
例えば、「1+2+3+…+n=n(n+1)/2を証明せよ」という問題では、まずn=1を代入して左辺と右辺が一致することを確認します。
その後、n=kで成り立つと仮定し、n=k+1でも成り立つことを示します。
一方、「1+2+3+…+100を求めよ」という問題では証明ではなく計算なので、n=1の確認は不要です。
まとめ
数列でn=1を確かめるのは、主に数学的帰納法や命題の証明を行うときです。最初のケースが成立することを確認することで、その後の論理展開が可能になります。
一方、一般項を求めたり和を計算したりする問題では、証明が目的ではないため必ずしも確認は必要ありません。問題文に「証明せよ」「数学的帰納法」という言葉があるかどうかを意識すると、n=1を確かめるべきかどうかを見分けやすくなります。
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