y=√(x-1)と直線y=ax+1の交点の個数と傾きの関係の解説

二次関数や平方根関数と直線の交点問題では、関数の形と直線の傾きによって交点の個数が変化します。ここでは、y=√(x-1)とy=ax+1の交点の個数の変化を、傾きaの値を軸に解説します。

y=√(x-1)の性質

関数y=√(x-1)は、x≥1で定義される右上がりの曲線です。xが増えるとyも増えますが、増加の割合は次第に小さくなり、傾きは0に近づきます。

a=0のとき、直線はy=1となります。曲線y=√(x-1)と交わるのは、√(x-1)=1のとき、つまりx=2です。この場合、交点は1つだけです。

直線にわずかでも正の傾きがつくと、y=ax+1は右上がりになります。曲線y=√(x-1)は右上がりですが、傾きはxが増えるほど小さくなるため、直線の傾きが曲線よりも大きくなる範囲があります。

そのため、x=1付近で直線が曲線より低く、xが大きくなると直線が曲線を追い抜く形になり、交点は2つになります。1つ目はx=1に近いところ、2つ目は追い抜かれる点付近です。

曲線の傾きはxが増えると減少します。直線の傾きが0より大きい場合、曲線よりも傾きが大きいため、2回交わることが可能です。傾きが極端に大きすぎると交わらなくなり、傾きが0だと交点は1つ、負の傾きでは交点が消える場合があります。

y=√(x-1)と直線y=ax+1の交点個数は、直線の傾きaによって変わります。a=0（水平線）では交点は1つ、0<a<適切な範囲では2つ、aが負や大きすぎると交点は0になります。これは、曲線の傾きがxとともに減少する性質と、直線の一定傾きの関係から説明できます。