アルキメデス距離とは？通常の距離との違いと意味をわかりやすく解説

数学で距離（metric）を学ぶときに「非アルキメデス距離」という言葉はよく見かけますが、では『アルキメデス距離』とは何でしょうか。この記事では、アルキメデス距離の概念と非アルキメデス距離との違いをわかりやすく解説します。

アルキメデス距離の定義

簡単に言えば、アルキメデス距離とは通常の距離空間で使われる距離のことです。数学的には、距離d(x,y)が以下の性質を満たす場合です。

さらにアルキメデス性（Archimedean property）を持つことが特徴です。これは、「どんな小さな距離でも十分に繰り返せば任意の距離を超えることができる」という性質です。

非アルキメデス距離は、三角不等式をさらに強化した強三角不等式を満たします。

d(x,z)≦max{d(x,y),d(y,z)}

この性質は、p進数や超距離空間など特別な数学的構造で現れます。通常の距離はアルキメデス性を持つため、非アルキメデス距離とは明確に区別されます。

日常生活で使うユークリッド距離（2点間の直線距離）やマンハッタン距離（格子上での距離）はすべてアルキメデス距離です。小さなステップを何度も足して、大きな距離を越えられるためです。

一方、非アルキメデス距離では「距離の最大値」が支配的になるため、三角不等式の形が変わります。

アルキメデス距離とは、数学で通常の距離空間で用いられる距離を指し、三角不等式とアルキメデス性を満たすものです。非アルキメデス距離と対比されることで名前が意識されることがありますが、日常的な距離はすべてアルキメデス距離として扱えます。