円が三角形の各辺に接するときの長さの求め方｜接線の長さの性質を使った円と三角形の問題解説

三角形の内側に円があり、3つの辺すべてに接している図形問題では、接点までの長さの性質を利用すると簡単に解くことができます。この記事では、三角形と内接円の接線の長さに関する基本的な考え方と、具体的な解き方をわかりやすく解説します。

三角形に内接する円と接線の基本性質

三角形ABCの内部に円があり、辺AB、BC、CAにそれぞれ1点ずつ接している場合、この円は三角形ABCの内接円と呼ばれます。

このとき重要なのは、「同じ点から円に引いた接線の長さは等しい」という性質です。

例えば、頂点Aから円への接点をP、頂点Bから円への接点をQ、頂点Cから円への接点をRとすると、Aから伸びる2本の接線の長さは等しいため、AP＝ARとなります。同じように、BP＝BQ、CQ＝CRが成り立ちます。

今回の条件では、辺AB上の接点をP、辺BC上の接点をQ、辺CA上の接点をRとしています。

与えられている長さは以下の通りです。

AP＝5
BQ＝6
QC＝4

求めたいのはPBの長さです。ここで、接線の性質を使うと、頂点Bから円までの接線の長さはどちらも同じなので、

BP＝BQ

となります。

BQの長さは問題文から6と分かっています。そのため、同じ頂点Bから引いたもう一方の接線であるBPも同じ長さになります。

したがって、

BP＝BQ＝6

となります。

つまり、求めるpB間の長さは6です。

この性質は、円の中心と接点を結んだ線が接線と垂直になることから説明できます。

同じ点から円に引いた2本の接線を考えると、それぞれの接点までの距離を辺とする2つの直角三角形ができます。円の半径はどちらも同じで、中心から頂点までの距離も共通なので、三平方の関係から接線の長さは等しくなります。

そのため、内接円の問題では、接点の位置を細かく追うよりも、「同じ頂点から伸びる接線の長さは等しい」というルールを使うことが解法のポイントになります。

内接円が登場する問題では、まず接点を確認し、それぞれの頂点から出ている同じ長さの部分を見つけることが大切です。

例えば、三角形の辺の長さを求める問題では、以下のように文字を置くと整理しやすくなります。

AP＝AR＝a
BP＝BQ＝b
CQ＝CR＝c

このように考えると、各辺の長さは「a+b」「b+c」「c+a」のように表すことができ、複雑な問題でも解きやすくなります。

三角形の辺に接する円の問題では、「同じ頂点から円に引いた接線の長さは等しい」という性質を使うことが基本になります。

今回の問題では、Bから円に引いた2本の接線BPとBQが等しいため、BQ＝6からPB＝6とすぐに求めることができます。

内接円の問題を見たら、まず接点を探し、同じ頂点から伸びる部分がないか確認することで、短時間で解答できるようになります。