複数の円の上を動く点によって作られる三角形の面積最大問題は、図形の性質と距離の関係を整理することが解法のポイントになります。この記事では、中心Oを共有する円と、その外側に配置された円周上の点を使った問題について、なぜ最大時に点が特定の円周上に移動するのか、そして三角形の最大面積をどのように求めるのかを順番に解説します。
問題の設定を整理する
中心Oを同じくする半径1の円C1と半径5の円Cがあります。また、円Cの周上に点A、Bを取り、それぞれを中心として半径1の円C2、C3を作ります。
さらに、C1、C2、C3の円周上にそれぞれ点P、Q、Rを取ります。つまり、P、Q、Rはそれぞれ決められた円の上を自由に動くことができます。
求める内容は、△PQRの面積が最大になる条件と、その最大値です。このような問題では、まず各点がどこまで移動できるかを考える必要があります。
QとRが半径6の円周上にある理由
点Qは点Aを中心とする半径1の円C2上にあります。点Aは中心Oから半径5の円Cの周上にあるため、OA＝5です。
したがって、OからQまでの距離は、三角形OAQを考えることで最大6になることが分かります。
つまり、
OQ≦OA＋AQ＝5＋1＝6
となります。
この距離が最大になるのは、O、A、Qが一直線上に並び、AがOとQの間にある場合です。このとき、
OQ＝6
になります。
同様に、点Rについても、
OR≦OB＋BR＝5＋1＝6
であり、最大の場合にはOR＝6となります。
したがって、△PQRの面積を最大にするためには、QとRは中心Oを中心とする半径6の円周上に存在することになります。
なぜ距離を最大にすると三角形の面積が大きくなるのか
三角形の面積は、底辺と高さによって決まります。特にQとRを固定した場合、Pの位置によって高さが変化します。
この問題ではQとRが動くことができます。そのため、QとRの間の距離をできるだけ大きくし、さらにPからQRへの高さを最大にすることが面積最大化につながります。
半径6の円周上まで移動したQとRを利用すると、QとRの配置できる範囲が最も広がります。そのため、面積最大の場合にはQ、Rともに最も外側の円周上にある必要があります。
最大面積を求めるための配置
最大の面積を考えるには、QとRを半径6の円周上に置き、さらにPを反対側の最も遠い位置に配置します。
QとRは中心Oから距離6の位置にあるため、QRを最大にするには直径になるように配置するのが最適です。
したがって、
QR＝6×2＝12
となります。
また、Pは半径1の円C1上にあるため、Oからの距離は1です。QRを直径とした場合、PからQRまでの最大の高さは、OからQRまでの距離を利用して考えることができます。
QRがOを通るように配置される場合、Pが最も遠い位置にあるとき高さは1になります。
△PQRの面積の最大値
三角形の面積は、
面積＝底辺×高さ÷2
で求められます。
ここで、底辺QRは12、高さは1なので、
△PQRの面積＝12×1÷2＝6
となります。
したがって、この条件での最大面積は6です。
このタイプの図形問題を解くポイント
円周上を動く点が登場する最大値問題では、まず「その点が中心からどこまで離れられるか」を考えることが重要です。
今回の場合、QとRは半径1の円の中心が半径5の円周上にあるため、中心Oから最大で5＋1＝6離れることができます。
また、最大値を考えるときは、距離の上限を実現する配置を探し、その後で三角形の面積公式に当てはめるという流れを意識すると解きやすくなります。
まとめ｜円の移動範囲を考えることが最大面積問題の第一歩
この問題では、点QとRが動ける範囲を調べることで、最大時には中心Oから距離6の円周上にあることを示すことができます。
ポイントは、外側の円の半径5と内側の円の半径1を足して、点が到達できる最大距離を考えることです。
円と動点が組み合わさった最大値問題では、まず移動範囲を求め、その範囲の中で最も面積が大きくなる配置を考えることで、複雑に見える問題でも整理して解くことができます。
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