三角関数の方程式では、公式を代入した後の式変形でつまずくことがよくあります。しかし、式変形の流れを一つずつ確認すれば難しくありません。この記事では「cos2θ=sinθ+1」を例に、公式の利用から因数分解、解の求め方までを順を追って解説します。
まずは公式を代入する
与えられた方程式は次の通りです。
cos2θ=sinθ+1
ここで、加法定理から導かれる公式
cos2θ=1-2sin²θ
を代入します。
すると、
1-2sin²θ=sinθ+1
となります。
2sin²θ+sinθ=0になるまでの式変形
ここで両辺にある「1」を消すため、両辺から1を引きます。
1-2sin²θ=sinθ+1
↓ 両辺から1を引く
-2sin²θ=sinθ
次に、右辺のsinθを左辺へ移項します。
-2sin²θ-sinθ=0
最後に両辺を-1倍すると、
2sin²θ+sinθ=0
となります。
このように、「両辺から同じ数を引く」「移項する」「必要なら-1倍する」という基本操作だけで変形できます。
因数分解して解を求める
次に式を因数分解します。
2sin²θ+sinθ=0
共通因数sinθでくくると、
sinθ(2sinθ+1)=0
積が0なので、
- sinθ=0
- 2sinθ+1=0
のどちらかが成り立ちます。
それぞれの解を求める
① sinθ=0 の場合
0≦θ＜2πの範囲では、
θ=0,π
② 2sinθ+1=0 の場合
両辺から1を引いて2で割ると、
sinθ=-1/2
0≦θ＜2πの範囲では、
θ=7π/6,11π/6
解答のまとめ
以上より、方程式cos2θ=sinθ+1を満たすθは
θ=0,π,7π/6,11π/6
です。
| 手順 | 内容 |
|---|---|
| ① | cos2θ=1-2sin²θを代入 |
| ② | 両辺から1を引く |
| ③ | 移項して2sin²θ+sinθ=0にする |
| ④ | sinθ(2sinθ+1)=0と因数分解 |
| ⑤ | sinθ=0、sinθ=-1/2を解く |
まとめ
三角関数の方程式では、公式を代入した後の式変形が重要です。今回の問題では「両辺から1を引く」「移項する」「共通因数でくくる」という中学数学の基本操作だけで解けます。三角関数が苦手な場合でも、まずは代入後の式を丁寧に整理する習慣を身につけると、複雑な問題にも対応しやすくなります。
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