数学では、無理数を近似値の不等式で表したときに、その数を係数に持つ関数の性質をどのように判断するのかが重要になります。特に「1.414＜√2＜1.415」としか与えられていない場合に、f(x)=√2xが単調増加といえるのか迷うことがあります。この記事では、単調増加の定義と不等式の活用方法を通して考え方を整理します。
単調増加とは何か
関数f(x)が単調増加であるとは、任意の実数a,bについて、a＜bならばf(a)＜f(b)が成り立つことをいいます。
一次関数f(x)=axの場合は、係数aが正であれば単調増加、負であれば単調減少になります。
したがって、f(x)=√2xが単調増加かどうかは、√2が正かどうかを確認すれば十分です。
√2の近似不等式から何が分かるか
問題では、√2について
1.414＜√2＜1.415
という情報が与えられています。
この不等式から、√2は1.414より大きいことが分かります。
1.414は正の数なので、√2も正の数です。
つまり、係数√2は0より大きいことが確定します。
なぜ単調増加といえるのか
x1＜x2とします。
√2は正の数なので、不等式の両辺に√2を掛けても不等号の向きは変わりません。
したがって
√2×1＜√2×2
が成り立ちます。
これは単調増加の定義そのものです。
よって、f(x)=√2xは実数全体で単調増加といえます。
√2の正確な値を知らなくてもよい理由
単調増加かどうかを判断するために、√2=1.41421356…という正確な値を知る必要はありません。
重要なのは係数が正か負かという点です。
例えば、3＜a＜4であればaが正であることは明らかなので、f(x)=axも単調増加と判断できます。
同様に、1.414＜√2＜1.415という情報だけで十分です。
似た問題での考え方
| 関数 | 増減 |
|---|---|
| √3x | 単調増加 |
| πx | 単調増加 |
| -√5x | 単調減少 |
| -πx | 単調減少 |
係数が正なら増加、負なら減少という原則を覚えておくと、多くの問題を素早く解けます。
不等式による評価の役割
無理数は小数で正確に表せないため、不等式で挟み込んで性質を調べることがあります。
今回のような問題では、近似値の精度そのものよりも、「正である」「1より大きい」といった性質を読み取ることが大切です。
数学では数値そのものより、そこから導ける性質を活用する場面が多くあります。
まとめ
√2が1.414＜√2＜1.415を満たすことから、√2は正の数であると分かります。一次関数f(x)=√2xは正の係数を持つため、任意の実数に対して単調増加です。単調増加を判断する際は、係数の正負に注目することが重要であり、√2の正確な値を知る必要はありません。
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