この問題では、a>0, b>0 のときに、式 (3a+4b)(6/a+2/b) の最小値を求める方法について解説します。数学的な最適化問題において、与えられた式の最小値を求めるための手法を段階的に示します。
式 (3a+4b)(6/a+2/b) の展開
まずは、与えられた式を展開していきます。式は次のように変形できます。
(3a+4b)(6/a+2/b) = 18 + 6a/b + 24b/a + 8
この式を簡略化すると、次の形になります。
6a/b + 24b/a + 26
相加平均と相乗平均を使った最小化
次に、この式の最小値を求めるために、相加平均と相乗平均の不等式を使用します。
相加平均-相乗平均不等式 (AM-GM不等式) により、次のような式が成り立ちます。
6a/b + 24b/a + 26 ≧ 2√(6a/b * 24b/a) + 26 = 50
最小値が成立する条件
上記の式からわかるように、最小値が成立するのは、次の条件を満たすときです。
6a/b = 24b/a
この式を解くと、a² = 4b² となり、a と b の関係は a = 2b であることがわかります。
最小値の求め方
したがって、a = 2b のとき、式 (3a+4b)(6/a+2/b) の最小値は 50 となります。
これにより、この問題の最小値が明確に求められました。
まとめ
この問題では、相加平均と相乗平均の不等式を利用して、式 (3a+4b)(6/a+2/b) の最小値を求めました。最小値は 50 であり、この値は a = 2b のときに達成されます。数学の問題を解く際に、適切な不等式を用いることで、効率よく最小値を導き出すことができることを学びました。
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