1/(1+x²) のフーリエ変換の計算方法とステップ解説

フーリエ変換は信号解析や物理学、工学で非常に重要なツールです。特に 1/(1+x²) のフーリエ変換は基本的な例題としてよく出題されます。ここではステップごとに解説します。

フーリエ変換の定義

関数 f(x) のフーリエ変換 F(k) は次の式で定義されます。

F(k) = ∫_−∞^∞ f(x) e^{−i k x} dx

この定義に f(x) = 1/(1+x²) を代入して積分を考えます。

積分の基本アイデア

∫_−∞^∞ e^{−i k x} / (1+x²) dx は、複素解析の留数定理や既知の積分公式を用いて解くことができます。実は既知の結果として、次の式が成り立ちます。

∫_−∞^∞ e^{−i k x} / (1+x²) dx = π e^−|k|

ポイントの整理

• 関数 1/(1+x²) は偶関数なので、フーリエ変換も実数かつ偶関数になります。
• 絶対値の記号 |k| は、フーリエ変換の対称性から生じます。
• 結果として指数関数の減衰形 e^−|k| が出てきます。

まとめ

1/(1+x²) のフーリエ変換は F(k) = π e^−|k| となります。計算のステップとしては、フーリエ変換の定義に代入し、偶関数の性質を利用するか、既知の積分公式や複素解析の留数定理を用いる方法があります。これにより、フーリエ変換の計算手順を理解できます。