曲線 xy=α の直交截線の求め方とステップ解説

高校数学では、曲線群の直交截線（orthogonal trajectories）を求める問題は重要な演習です。ここでは xy=α という曲線群に対して直交截線を求める方法を丁寧に解説します。

1. 曲線の微分係数を求める

曲線 xy=α を x で微分すると、暗黙関数の微分法により次のようになります。

y + x (dy/dx) = 0 ⇒ dy/dx = -y/x

直交截線は元の曲線と直交するので、傾き m1 と m2 が m1 * m2 = -1 を満たす必要があります。

元の曲線の傾き dy/dx = -y/x に対して、直交截線の傾きは dy/dx = x/y となります。

直交截線の微分方程式は次の通りです。

dy/dx = x/y

dy/dx = x/y を分離変数法で解きます。

y dy = x dx

∫ y dy = ∫ x dx ⇒ y²/2 = x²/2 + C ⇒ x² – y² = constant

曲線 xy=α の直交截線は、x² – y² = C という式で表されます。ステップとしては、元の曲線の微分係数を求め、直交条件を使って傾きを求め、微分方程式を立てて解く、という流れになります。