函数論では、複素関数を極座標で表現すると、コーシーリーマン関係式や微分の表現が便利になります。本記事では、正則関数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) を z=re^{iθ} として考え、コーシーリーマン関係式を極座標で示す方法と、n乗根関数 w=z^{1/n} が正則であることの確認を解説します。
1. 極座標でのコーシーリーマン関係式
座標変換 x=r cosθ, y=r sinθ を用いると、偏微分の関係式を r と θ で表すことができます。正則性の条件から。
∂f/∂r = -i/r ∂f/∂θ
が成り立ちます。これは、∂f/∂x と ∂f/∂y を ∂f/∂r, ∂f/∂θ に変換し、コーシーリーマン方程式 u_x=v_y, u_y=-v_x を適用することで示されます。
2. 微分とヤコビアンの表現
正則関数の場合、f'(z)=f_r(z)e^{-iθ} となり、ヤコビアンは J=|f_r|^2 で表されます。ここで f_r は r に関する偏微分です。極座標での微分は、直交座標での偏微分を回転させた形として理解できます。
3. n乗根関数の正則性
w=z^{1/n} は z=w^n の逆関数として定義されます。z ≠ 0 の範囲 0<|z|<∞ で考えると、(1)の極座標コーシーリーマン関係式を適用して、偏微分が連続であり条件を満たすことを確認できます。
具体的には、w=r^{1/n} e^{iθ/n} と表すと、∂w/∂r, ∂w/∂θ は連続かつ偏微分可能であり、コーシーリーマン条件を満たすため w は正則です。
4. まとめ
極座標表示により、複素関数の正則性を偏微分の形で確認できます。コーシーリーマン関係式は ∂f/∂r=-i/r ∂f/∂θ で表され、f'(z)=f_r e^{-iθ}, J=|f_r|^2 の関係も導かれます。これを応用して、w=z^{1/n} の正則性も 0<|z|<∞ の範囲で確認できます。
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