「少なくとも一方で割り切れない整数」の意味と考え方｜高校数学の集合問題

整数の割り算に関する文章題で「少なくとも一方で割り切れない」と聞くと混乱することがあります。特に100から200までの整数で5と8の少なくとも一方で割り切れない整数を求める問題では、集合の考え方が理解の鍵です。

文の意味を正しく理解する

「少なくとも一方で割り切れない」というのは、5で割れない、または8で割れない、あるいは両方で割れない整数を指します。つまり5と8の両方で割れる整数は除外されます。

混乱しやすいのは「少なくとも一方で割り切れない」は「5または8で割れない」という意味であり、「5または8で割れる」の補集合ではないことです。

5で割れる整数の集合をA、8で割れる整数の集合をBとします。求める整数は「Aの補集合 ∪ Bの補集合」です。つまり、5でも8でも割れる整数は除かれます。

5または8で割れる整数の集合の補集合（全体集合 − (A ∪ B)）だと、5でも8でも割れない整数だけが残ってしまい、条件と異なります。

100～200の範囲で考えます。5で割れない数：101,102,103,104,106,…
8で割れない数：101,102,103,105,106,…
両方で割れない数：101,102,103,107,…
少なくとも一方で割り切れない数は両方で割れる数（120,160など）を除いた数になります。

1. 5で割れる数の個数を数える
2. 8で割れる数の個数を数える
3. 5と8両方で割れる数の個数を引く
4. 全体の数（101個）から5と8両方で割れる数を引くと、求める整数の個数が出ます。

「少なくとも一方で割り切れない整数」とは、5で割れないか8で割れない整数を指します。5または8で割れる数の補集合とは異なることに注意し、集合の補集合と和集合の考え方を使うと理解しやすくなります。