aと1/aを十進法の小数で表したとき、どちらもちょうど小数第3位で終わるような正の実数を求める問題は、小数と分数の関係を理解することで解くことができます。この記事では、この条件を満たす数の考え方と具体的な解法をわかりやすく解説します。
問題の条件を整理する
求める正の実数aは、a自身と1/aの両方が「小数第3位で終わる」必要があります。
つまり、aは次のような形になります。
a＝整数部分＋小数第3位までの有限小数
また、1/aも同じように小数第3位でぴったり終わる有限小数でなければなりません。
有限小数になる数は、分母を10の因数だけで表せる分数になるという性質があります。
有限小数になる条件を利用する
小数第3位で終わる数は、必ず分母が1000になる形で表せます。
例えば、3.125なら3125/1000となります。
したがって、aは整数部分を含めても、ある整数mを使って次のように表せます。
a＝m/1000
ただし、小数第3位で終わるという条件なので、分子mは10で割り切れない形で考える必要があります。
1/aも有限小数になる条件を考える
a＝m/1000とすると、
1/a＝1000/m
になります。
ここで、1000は10の3乗なので、1000/mが有限小数になるためには、mの素因数が2と5だけで構成されている必要があります。
つまり、mは2と5だけを因数に持つ数でなければなりません。
小数第3位で終わる条件から絞り込む
aが小数第3位で終わるためには、aの分母を1000まで残す必要があります。
また、1/aも小数第3位で終わるためには、分子と分母の関係を調整する必要があります。
そこで、aを単純な有限小数として考え、aと1/aがともに3桁の小数になる数を探します。
候補として、a＝2.5を考えると、
1/a＝1/2.5＝0.4
となり、小数第3位まで続かず条件を満たしません。
一方、小数第3位まで必要な数として、a＝1.25を考えると、
1/a＝0.8
となり、こちらも条件を満たしません。
このように、単純な有限小数ではなく、両方が小数第3位でちょうど終わる形になる必要があります。
具体的な解法と答え
aと1/aがともに小数第3位で終わるなら、両方を1000倍した値は整数になります。
したがって、
1000a＝整数、1000/a＝整数
と置くことができます。
ここで、1000aをnとすると、
a=n/1000
となります。
さらに、1000/a＝1000000/n
も整数でなければなりません。
つまり、nは1000000の約数です。
また、小数第3位で終了する条件からnは1000の倍数ではありません。
1000000＝2^6×5^6なので、条件を満たすnを調べると、
n＝2000
が該当します。
したがって、
a＝2000/1000＝2
となります。
ただし、a＝2の場合は1/a＝0.5で小数第1位で終了するため、「ちょうど小数第3位で終わる」という条件を満たしません。
このことから、条件を厳密に解釈すると、両方が小数第3位で初めて終わる正の実数は存在しません。
「小数第3位で終わる」と「小数第3位まで表せる」の違い
この問題で重要なのは、「小数第3位で終わる」という表現です。
例えば0.500は小数第3位まで書けますが、実際には0.5で終わっています。そのため「ちょうど小数第3位で終わる」には当てはまりません。
数学の問題では、このような言葉の違いが答えを左右することがあります。
まとめ｜条件を満たす数は存在しない
aと1/aの両方が十進法でちょうど小数第3位で終わるという条件を考えると、有限小数の性質から候補を絞ることができます。
しかし、実際に条件を満たす数を調べると、どちらか一方が小数第1位や第2位で終わってしまい、両方が小数第3位で終了する数は存在しません。
この問題では、有限小数の条件だけでなく、「ちょうど何桁で終わるか」という表現の正確な理解が重要になります。
コメント