高校数学の不等式では「式を変形したときに不等号がどう変わるのか」が重要な論点になります。特に逆数・2乗・絶対値の2乗は直感とズレやすく、誤解が起きやすいポイントです。本記事ではそれぞれの操作が不等式にどのような影響を与えるのかを整理して解説します。
不等式変形の基本ルール
不等式は等式と違い、両辺に同じ操作をすれば常に同じ関係が保たれるわけではありません。
特に「負の数をかけると不等号が逆転する」ように、単調性（増加・減少性）を意識する必要があります。
この考え方が、逆数や2乗の扱いにもそのまま関わってきます。
（1）逆数をとる場合の注意点
不等式 a < b に対して逆数をとる場合、a・bの符号によって結果が変わります。
両方が正のときは「1/a > 1/b」と不等号が逆になります。
一方で負の数を含む場合や符号が混在する場合は単純に逆転せず、場合分けが必要になります。
（2）両辺を2乗する場合
両辺を2乗する操作は、必ずしも不等号を保ちません。
理由は x^2 が「負から正まで同じ値をとる非単調関数」だからです。
例えば -3 < 2 は成り立ちますが、2乗すると 9 > 4 となり不等号が逆になります。
そのため、両辺が非負であることを確認してから使うのが基本です。
（3）絶対値不等式を2乗する場合
絶対値不等式 |a| < |b| のような形では、両辺が必ず0以上になるため2乗が可能です。
この場合は |a|^2 < |b|^2 となり、a^2 < b^2 と同値になります。
絶対値があることで符号の問題が消えるため、2乗しても不等号の向きは変わりません。
操作ごとのまとめ比較
逆数は「符号条件によって変化」、2乗は「基本的に単調でないため危険」、絶対値は「非負性により安全」という違いがあります。
この3つの違いを理解すると、不等式変形でのミスを大幅に減らすことができます。
重要なのは“操作の前提条件（符号・単調性）”を常に確認することです。
まとめ
不等式の変形では、逆数・2乗・絶対値それぞれに異なるルールが存在します。
特に2乗は無条件で使うと誤りやすいため、条件確認が必須です。
単なる公式暗記ではなく、関数の性質として理解することが正確な解法につながります。
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