関数f(x) = x^2 - 4x + 5の最大値と最小値を求める方法

今回は、関数f(x) = x^2 – 4x + 5の最大値と最小値を求める問題の解説を行います。範囲0 <= x <= aの中で、どのようにして最大値と最小値を見つけるかについて、ステップごとに解説します。

1. 与えられた関数と範囲の確認

まず、与えられた関数はf(x) = x^2 – 4x + 5です。範囲は0 <= x <= aであり、aは正の定数です。この範囲内で、関数の最大値と最小値を求めます。

関数の最大値と最小値を求めるために、まずその微分を求めます。微分することで、関数が増加または減少する箇所を特定し、極値（最大値や最小値）の位置を見つけることができます。

f'(x) = 2x – 4です。この微分を使って、f'(x) = 0となる点を求めます。具体的には、2x – 4 = 0となり、x = 2が求められます。

x = 2が極値であることがわかりましたので、この点での関数の値を確認します。f(2) = 2^2 – 4(2) + 5 = 4 – 8 + 5 = 1です。

したがって、x = 2のとき、関数f(x)は1となります。

次に、与えられた範囲0 <= x <= aの端点であるx = 0とx = aでの関数の値を確認します。

f(0) = 0^2 – 4(0) + 5 = 5です。

f(a) = a^2 – 4a + 5です。この値を使って、最小値と最大値を比較します。

x = 2での関数値f(2) = 1、x = 0での関数値f(0) = 5、x = aでの関数値f(a) = a^2 – 4a + 5です。

最小値はf(2) = 1、最大値はf(0) = 5、またはf(a) = a^2 – 4a + 5のどちらかとなります。

関数f(x) = x^2 – 4x + 5の最大値と最小値を求める方法について解説しました。計算を通して、x = 2で最小値が1であることがわかり、範囲内での最大値を見つける方法も示しました。理解を深めるために、実際に問題を解きながら練習することが重要です。