数3 関数の微分可能性と連続性の関係：証明の際に連続性を示す必要はあるか

数IIIで関数の微分可能性を扱う際、微分可能でないことを証明する場合、連続性も示すべきか迷うことがあります。例えば、関数 f(x)=|x-1| を x=1 で微分可能でないことを示す場合です。

1. 微分可能性と連続性の関係

微分可能な関数は必ず連続であるという性質があります。つまり、ある点で関数が微分可能であれば、その点で連続であることが自動的に保証されます。

2. 微分可能でないことを示す場合

逆に、ある点で関数が微分可能でないことを示す際には、必ずしも連続性を別途確認する必要はありません。微分可能かどうかの判定は、左右の導関数の差を計算して判断できるからです。

3. 具体例：f(x)=|x-1|

f(x)=|x-1| の場合、x=1 の左右からの導関数を計算します。

• 左側からの導関数：lim_{h→0^-} ((1-(1+h)) – 0)/h = lim_{h→0^-} (-h/h) = -1
• 右側からの導関数：lim_{h→0^+} ((1+h-1) – 0)/h = lim_{h→0^+} (h/h) = 1

左右の極限が異なるため、x=1 では微分可能ではありません。

4. 連続性の確認は任意

この例では f(x) は x=1 で連続ですが、微分可能でないことを示すのに連続性の証明は必須ではありません。連続性を示すと解答の補足として丁寧ですが、微分可能性の判定自体には影響しません。

まとめ

微分可能でないことを示す問題では、連続性の証明は必須ではありません。ただし、解答を丁寧にするためや理解を深めるために、連続性を確認しておくことは有益です。f(x)=|x-1| のような絶対値関数の例では、左右の導関数が異なることだけで微分不可能を示せます。