高校数学の確率問題解説：袋からの玉の取り出しと確率の計算

高校数学でよく出題される確率の問題について、袋の中から玉を取り出す問題を例に解説します。今回の質問では、袋に入っている白玉と黒玉から異なる組み合わせで玉を取り出す場合の確率を求める問題が含まれています。まずは、(1)と(2)それぞれの問題を順番に見ていきましょう。

1. 問題の整理

袋の中には、白玉3個と黒玉2個が入っています。まずは、2個を取り出すときの総数を求めます。

2個の玉を取り出す場合、総数は組み合わせの問題です。取り出す順番に関係なく、白玉3個と黒玉2個から2個を選ぶ場合の組み合わせを求めます。

これは、5個の玉の中から2個を選ぶ組み合わせです。よって、総数は ₅C₂ = 10 となります。

(2)では、黒玉1個と白玉1個を取り出す確率を求めます。まず、黒玉1個、白玉1個を選ぶ組み合わせは ₂C₁ × ₃C₁ = 2 × 3 = 6 です。

次に、2個取り出す場合の総数が10通りなので、黒玉1個、白玉1個を取り出す確率は 6 ÷ 10 = 3/5 となります。

質問者さんが述べたように、(1)と(2)の問題では、確率の求め方に違いがあります。確率を求めるとき、(2)では「黒玉1個、白玉1個」を明確に指定していますが、(1)では取り出しの組み合わせが「白玉-白玉」「白玉-黒玉」「黒玉-黒玉」の3通りから選ばれるため、組み合わせの数が少し複雑です。

具体的に言うと、(1)では「白玉1個、白玉2個を取り出した場合」というように、選ばれた玉の順番に関係なくその組み合わせを求めるため、区別せずに計算します。これに対して、(2)では黒玉1個と白玉1個を具体的に取り出すことを求めているため、事象を分けて計算しています。

確率の問題では、事象が何であるかを明確にすることが大切です。(1)では「2個の玉を取り出す場合の総数」を求め、(2)では「黒玉1個、白玉1個を取り出す確率」を求めました。異なる条件の下で確率を計算する方法をしっかりと理解することで、他の問題にも応用できるようになります。