楕円と直線の共有点の個数を判別式で求める方法とkの範囲の解釈

楕円x²+4y²=20と直線y=x+kの共有点の個数を調べる場合、判別式を用いると便利です。判別式D>0の条件で共有点が2個、D=0で1個、D<0で0個となります。

判別式の導出

直線y=x+kを楕円に代入すると、x²+4(x+k)²=20となります。展開すると、x²+4(x²+2kx+k²)=20、つまり5x²+8kx+4k²-20=0となります。

この二次方程式の判別式はD=(8k)²-4*5*(4k²-20)=64k²-80(4k²-20)=64k²-320k²+1600=-256k²+1600となります。

共有点が2個の場合、D>0です。すなわち-256k²+1600>0となり、256k²<1600、k²<25、|k|<5となります。これにより、kの範囲は-5

端点k=-5またはk=5のとき、D=0となり、共有点は1個になります。よって2個となる範囲には端点は含まれず、-5

判別式を用いることで、楕円と直線の共有点の個数とkの範囲を正確に求めることができます。2個の共有点を持つためには、kは-5より大きく5より小さい値である必要があります。