原点でx軸に接し曲率cosxを持つ曲線の方程式の求め方

曲率が与えられた関数cosxで、原点でx軸に接する曲線の方程式を求める場合、まず曲率の定義式を利用します。平面曲線y=f(x)の曲率はκ(x)=|y”|/(1+y’^2)^(3/2)です。

曲率方程式の設定

与えられた条件から、原点でx軸に接するのでy(0)=0、y'(0)=0です。また曲率κ(x)=cosxより、y”/(1+(y’)^2)^(3/2)=cosxとなります。

微分方程式の解法

ここでv=y’と置換すると、y”=v dv/dy ではなくx依存で扱う場合はy”=v’、微分方程式はv’/(1+v^2)^(3/2)=cosxとなります。

両辺を積分するために(1+v^2)^(-3/2)v’dx=cosx dxとして整理し、適切な置換を用いると、v=tan(sin x) – 1などの形でy’を求め、さらに積分してy(x)を求めます。

初期条件の適用

y(0)=0を使って積分定数を決定し、最終的に原点を通る方程式y=f(x)が得られます。

まとめ

曲率がcosxで原点でx軸に接する曲線は、曲率式κ=y”/(1+y’^2)^(3/2)=cosxから微分方程式を立て、y’=v(x)を積分してy(x)を求め、初期条件y(0)=0, y'(0)=0を適用することで求められます。解の具体的な形はy(x)=∫tan(∫cosx dx) dxなどとなります。