位相空間における連続性の定義と、距離空間でのε-δによる連続性の定義は、一見まったく異なる形をしています。しかし実は、この2つは本質的に同じ内容を表しています。本記事では、その同値性を論理的に丁寧に追いながら、なぜ両者が一致するのかをわかりやすく解説します。
2つの連続性の定義を整理する
まずは、それぞれの定義を明確に整理します。
位相空間の定義：写像T:X→Yについて、Yの任意の開集合Uに対し、逆像T^{-1}(U)がXで開集合ならば連続。
距離空間の定義：任意のε>0に対して、あるδ>0が存在し、d(x,x0)<δならばd(T(x),T(x0))<εとなるとき連続。
この2つの橋渡しとなるのが「開集合＝ε近傍」という考え方です。
距離空間における開集合の意味
距離空間では、開集合は「各点のまわりに小さな開球（ε近傍）が取れる集合」として定義されます。
つまり、集合Uが開であるとは、任意の点y∈Uに対して、あるε>0が存在し、
d(y, z) < ε を満たす z はすべてUに含まれる
ということです。
この「εで囲める」という性質が、ε-δ論法と直接つながります。
ε-δ定義 ⇒ 開集合の逆像が開集合
まず、ε-δの意味で連続ならば、位相的な連続性が成り立つことを示します。
Yの開集合Uを取り、x0∈T^{-1}(U)とします。つまりT(x0)∈Uです。
Uが開集合なので、あるε>0が存在して、
d(T(x), T(x0)) < ε ⇒ T(x) ∈ U
となります。
ここでε-δ連続性より、あるδ>0が存在して、
d(x, x0) < δ ⇒ d(T(x), T(x0)) < ε
したがって、
d(x, x0) < δ ⇒ x ∈ T^{-1}(U)
となり、x0のまわりにδ近傍が存在します。よってT^{-1}(U)は開集合です。
開集合の逆像が開集合 ⇒ ε-δ定義
逆に、位相的な連続性からε-δ連続性を導きます。
任意のε>0をとり、Yにおける開球
B(T(x0), ε) = {y | d(y, T(x0)) < ε}
を考えます。この集合は開集合です。
連続性より、その逆像
T^{-1}(B(T(x0), ε))
も開集合になります。
したがって、x0∈T^{-1}(B(T(x0), ε))なので、あるδ>0が存在して、
d(x, x0) < δ ⇒ x ∈ T^{-1}(B(T(x0), ε))
すなわち、
d(x, x0) < δ ⇒ d(T(x), T(x0)) < ε
が成り立ちます。これでε-δ連続性が示されました。
具体例でイメージする
例えば、T(x)=2xという関数を考えます。
このとき、T(x0)=2×0のまわりのε近傍は、xの世界ではδ=ε/2の範囲に対応します。
つまり、出力側の「小さい範囲（ε）」が、入力側では「対応する小さい範囲（δ）」として引き戻されるイメージです。
これが「逆像が開集合」という定義の直感的な意味です。
まとめ：両者は「近さの保存」を別の言葉で表現している
ε-δ定義と位相的定義は、どちらも「点の近さが写像で保たれる」という性質を表しています。
前者は数値（距離）で、後者は集合（開集合）で表現しているだけです。
この対応関係を理解することで、位相空間論と解析学のつながりが見えてきます。抽象的に見える定義も、根本は同じ考え方に基づいていることを押さえておきましょう。
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