∫[0,∞] sin(ax^4)sin(bx^4)/x^3 dx の求め方｜置換と三角恒等式で解く難関積分

本記事では、やや高度な定積分である ∫[0,∞] sin(ax^4)sin(bx^4)/x^3 dx を、基本的なテクニックである置換と三角関数の公式を用いて丁寧に解説します。一見すると複雑に見えるこの積分も、構造を整理すれば計算可能です。

問題の確認と戦略

与えられた積分は次の通りです。

∫[0,∞] sin(ax^4) sin(bx^4) / x^3 dx

このままでは扱いづらいため、以下の2つの方針で進めます。

これにより、既知の積分に帰着させます。

まず、公式を使います。

sinA sinB = (1/2)(cos(A-B) – cos(A+B))

これを適用すると、積分は

(1/2) ∫[0,∞] (cos((a-b)x^4) – cos((a+b)x^4)) / x^3 dx

となります。

この形にすることで、cos型の積分に分解できます。

次に、変数変換を行います。

t = x^4 ⇒ dt = 4x^3 dx

したがって、

dx / x^3 = dt / (4t)

これを代入すると、積分は

(1/8) ∫[0,∞] (cos((a-b)t) – cos((a+b)t)) / t dt

という形になります。

ここで重要な公式を使います。

∫[0,∞] (cos(αt) – cos(βt)) / t dt = log(β/α) （α,β > 0）

この公式を適用すると、

(1/8) log((a+b)/(a-b))

が得られます（適切な絶対値処理を含む）。

したがって、最終的な結果は

(1/8) log| (a+b)/(a-b) |

となります。

例えば、a=2, b=1 の場合を考えると、

(1/8) log(3/1) = (1/8) log3

となります。このように、パラメータの値によって具体的な数値が得られます。

対称性から、aとbを入れ替えても同じ結果になる点も確認できます。

この積分は一見難解ですが、

という流れで解くことができます。

特に「形を見て既知の形に持ち込む」発想が重要です。こうしたテクニックを身につけることで、難しい積分問題にも対応できるようになります。