x² + 4 ≧ 4x の証明方法について解説

「x² + 4 ≧ 4x」という不等式の証明について詳しく解説します。この不等式が成り立つことを数学的に証明する方法を紹介します。

問題の整理

まず、与えられた不等式 x² + 4 ≧ 4x を整理して、証明に取り組みます。

不等式を整理する

不等式 x² + 4 ≧ 4x を整理します。まず、両辺から4xを引いて不等式を次のように変形します。

x² – 4x + 4 ≧ 0

ここで、この式をさらに簡単にするために、左辺を平方完成します。

平方完成を行う

x² – 4x + 4 は、(x – 2)² という形に変形できます。つまり、次のようになります。

(x – 2)² ≧ 0

平方完成した式 (x – 2)² ≧ 0 は、明らかにどんな実数xに対しても成り立ちます。なぜなら、(x – 2)² は常に0以上だからです。

結論

したがって、x² + 4 ≧ 4x はすべての実数 x に対して成り立つことが証明されました。

まとめ

不等式 x² + 4 ≧ 4x は、平方完成を使って簡単に証明できることがわかりました。このように、適切な方法で不等式を整理していくことが、証明を進める鍵となります。