与えられた関数 y = -2sin(2θ) + 2cos(2θ) + 3 の最大値と最小値を求める方法について解説します。関数の最大値と最小値を求めるためには、まずその微分を使って極値を探し、その後、与えられた範囲での値を確認することが重要です。
関数の微分を使って極値を求める
最初に、与えられた関数を微分して、極値（最大値または最小値）が存在する場所を特定します。関数 y = -2sin(2θ) + 2cos(2θ) + 3 をθで微分すると、次のようになります。
dy/dθ = -4cos(2θ) – 4sin(2θ)
この微分結果を使って、dy/dθ = 0 の条件を満たすθの値を求めます。これにより、関数が極値を取る点がわかります。
θの値を求める
次に、dy/dθ = 0 の条件を解くことで、θの値を求めます。
-4cos(2θ) – 4sin(2θ) = 0
ここから、cos(2θ) + sin(2θ) = 0 を導き出します。これは、2θ = π/4 + nπ (nは整数) という形で解けます。
したがって、θの値は θ = π/8 + nπ/2 になります。このθの値が関数の極値を取る場所です。
極値を与えられた範囲で評価する
今回はθの範囲が0≦θ≦π/2と指定されていますので、この範囲内でθの値を求めます。
θ = π/8 がこの範囲内にあるため、この点でのyの値を求めます。
y = -2sin(2×π/8) + 2cos(2×π/8) + 3 を計算すると、最大値と最小値が求められます。
最大値と最小値の計算
まず、θ = 0 と θ = π/2 の境界値を評価します。
θ = 0 のとき、y = -2sin(0) + 2cos(0) + 3 = 2 + 3 = 5
θ = π/2 のとき、y = -2sin(π) + 2cos(π) + 3 = -2 + 3 = 1
次に、θ = π/8 でのyの値を求めます。θ = π/8 のとき、y = -2sin(π/4) + 2cos(π/4) + 3 を計算すると、y = -2√2 / 2 + 2√2 / 2 + 3 = -2√2 + 3 となります。
まとめ
このように、関数 y = -2sin(2θ) + 2cos(2θ) + 3 の最大値は 5 で、最小値は -2√2 + 3 となります。θの範囲が0≦θ≦π/2であるため、この範囲内で最大値と最小値を求めることができました。
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