大学数学

リーマン幾何学では、曲率テンソルがゼロである場合、局所的にユークリッド空間のような座標系を取ることが可能です。この記事では、その証明の概略と、参考となる文献を紹介します。曲率ゼロと局所座標系曲率テンソルR_{ijkl}=0が成り立つ多様体で...

数学の学習で、難関大レベルの問題に出会った際、多くの受験生が悩むポイントは「解けない問題にどう向き合うか」です。無理に解こうとするだけでは効率が悪く、解説を見て学ぶことも重要です。この記事では、解説をどのように活用し、その後の学習にどうつな...

n次元球面（n-1次元球面）上の点の座標を表すには、一般化された球面座標系（超球座標）を用います。4次元球面の例を拡張して、任意次元における点の座標を表す方法を解説します。n次元球面（半径 r）の超球座標系n次元空間における半径 r の球面...

任意の次元における球の体積は、次元ごとに定義されるガンマ関数を用いて一般式で表すことができます。1次元や4次元の例から導かれる比を一般化することで、n次元における体積と半径の関係を理解できます。球のn次元体積の一般式半径 r の n 次元球...

大学で学ぶ解析学や高度な数学で出てくる ε-n 論法は、極限や収束を厳密に扱うための方法です。高校で数IIIを履修していなくても学べますが、前提知識があると理解しやすくなります。ここでは、文系出身者でも理解できるように必要な基礎を整理します...

進法は通常、整数を基数として数値を表現する方法ですが、実数や負の数を基数にすることも数学的には可能です。この記事では「e進法」と「-10進法」について、中学・高校レベルで理解できる範囲で解説します。e進法とは何かe進法は、自然対数の底 e ...

単位球面 S² = { (x, y, z) ∈ ℝ³ | x² + y² + z² = 1 } が 2 次元の滑らかな多様体であることを示すには、局所座標系 (chart) を適切に構成し、S² 上の任意の点で微分同相を与えることが有効です...

「ラーメンと数学の行列にはどのような関係があるのか」と疑問に思う人は少なくありません。一見すると全く関係がないように見えますが、実はラーメン店の経営や注文管理、さらには待ち行列の分析など、数学の行列（matrix）や待ち行列理論（queue...

数学には数多くの未解決問題があります。もしそのうち一つの答えがわかるとしたら、どの問題を選ぶべきでしょうか。この記事では、未解決問題の中から注目すべきものと、それを知る意味について解説します。リーマン予想最も有名な未解決問題の一つがリーマン...

コラッツ予想は、任意の正整数に対して「偶数なら2で割り、奇数なら3倍して1を足して2で割る」という操作を繰り返すと最終的に1に到達するという未解決問題です。近年も多くの証明案が提案されていますが、数学的な証明として認められるためには厳密な論...