任意次元における球の体積と半径の平方・面積比の一般式

任意の次元における球の体積は、次元ごとに定義されるガンマ関数を用いて一般式で表すことができます。1次元や4次元の例から導かれる比を一般化することで、n次元における体積と半径の関係を理解できます。

球のn次元体積の一般式

半径 r の n 次元球（n-球）の体積 V_n(r) は次の式で表されます。

V_n(r) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)} r^n

ここで Γ はガンマ関数です。ガンマ関数は整数 k に対して Γ(k+1) = k! を満たします。

n次元球の体積を、その半径と同じ r の2次元球（円）の面積の n/2 乗で割った比を考えます。2次元球の面積は A_2 = \pi r^2 です。

したがって比は。

比 = \frac{V_n(r)}{(A_2)^{n/2}} = \frac{\pi^{n/2} r^n / \Gamma(n/2 + 1)}{(\pi r^2)^{n/2}} = \frac{1}{\Gamma(n/2 + 1)}

・4次元球の場合: 比 = 1/Γ(4/2 + 1) = 1/Γ(3) = 1/2

・1次元球（線分）の場合: 比 = 1/Γ(1/2 + 1) = 1/Γ(3/2) = 2/√π

このように、1次元や4次元で与えられた例と一致します。

一般に、n次元球の体積 V_n(r) を半径 r の円の面積 A_2 の n/2 乗で割った比は

比 = 1 / Γ(n/2 + 1)

で表され、次元 n を任意に設定することで簡単に求めることができます。この式により、任意次元の球体積と円面積の関係が統一的に理解できます。