この問題では、与えられた二次方程式 X^2 + 2kx - k + 2 = 0 の解が特定の条件を満たすようなkの値の範囲を求める問題です。具体的には、「2より大きい解と小さい解をひとつずつ持つようなkの値の範囲」を求めることが求められています。この問題を解くために必要なステップをわかりやすく解説していきます。
問題の意味を理解する
まず、この問題の意味を簡単に説明します。二次方程式の解には2つの値が存在しますが、そのうちの1つが「2より大きく、もう1つが「2より小さい」解であるような条件を満たすkの範囲を求めるのが目標です。
二次方程式の解の公式を使う
二次方程式 ax^2 + bx + c = 0 の解を求める公式は以下の通りです。
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
ここで、与えられた方程式 X^2 + 2kx - k + 2 = 0 に当てはめると、a=1, b=2k, c=-k+2 です。これを解の公式に代入して解を求めます。
解の条件を考える
解の公式から得られる2つの解は、次のように求められます。
x = (-2k ± √(4k² - 4×1×(-k+2))) / 2×1
次に、この解が「2より大きい解と小さい解をひとつずつ持つ」という条件を満たすためには、判別式 b² - 4ac が非負である必要があります。また、解の1つが2より大きく、もう1つが2より小さいことが求められるため、この条件を満たすkの範囲を求めます。
具体的な計算とkの範囲
判別式を計算すると、以下のような式が得られます。
4k² - 4(-k+2) = 4k² + 4k - 8
この判別式が0以上であるとき、解が実数として存在することが保証されます。その後、解が2より大きいものと小さいものを持つ条件を満たすようなkの範囲を導きます。
まとめ
この問題では、与えられた二次方程式の解が特定の範囲内に収まるようなkの値を求めることが求められています。解の公式を使って、判別式を計算し、条件に合ったkの範囲を求めることができることを理解しましょう。これにより、同様の問題に取り組む際の考え方も応用できるようになります。
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