xの√x乗のような関数のグラフを調べるとき、増減を調べるために微分を行います。その途中で「x^(√x-1/2)>0なので」という説明が出てきて、なぜ必ず正になるのか疑問に感じることがあります。
この部分を理解するには、指数が分数や無理数の場合でも、正の数を何乗しても必ず正になるという指数の基本的な性質を知ることが重要です。この記事では、なぜx^(√x-1/2)が正になるのかを、定義や具体例を使って分かりやすく解説します。
xの√x乗という関数の定義を確認する
まず、関数y=x^√xを考えます。
指数に√xが含まれているため、xの範囲には注意が必要です。平方根があるため、実数範囲では、
x≧0
で考えます。
ただし、微分や指数の計算ではx=0付近で扱いにくいため、通常はx>0の範囲で考えます。
xが正の数であれば、x^aという形の値は、指数aがどんな実数であっても正の値になります。
正の数を何乗しても正になる理由
ポイントは、指数関数の基本的な性質です。
x>0のとき、
x^a=e^(a log x)
と表すことができます。
ここで、eはネイピア数であり、どんな実数を指数にしても、
e^t>0
となります。
したがって、
x^a=e^(a log x)>0
となり、指数aがどんな値でもx^aは必ず正になります。
つまり、xが正である限り、
x^(√x-1/2)
も必ず正になります。
x^(√x-1/2)>0の具体的な確認
問題に出てくる式、
x^(√x-1/2)
では、底がx、指数が√x-1/2です。
指数部分の、
√x-1/2
は正の場合も負の場合もあります。
例えばx=4なら、
√4-1/2=2-1/2=3/2
なので、
4^(3/2)=8
となり正です。
また、x=1/4なら、
√(1/4)-1/2=1/2-1/2=0
なので、
(1/4)^0=1
となります。
さらに、指数が負の場合でも、
2^(-3)=1/8
のように正の値になります。
微分した後にこの項を無視できる理由
y=x^√xを微分すると、途中式には、
x^(√x-1/2)
のような項が現れます。
増減を調べるときは、導関数が0になる場所を探します。
もし導関数が、
正の定数×x^(√x-1/2)×(ある式)
のような形になっている場合、
x^(√x-1/2)>0
なので符号を変える原因にはなりません。
そのため、導関数が0になる条件を考えるときには、残りの部分だけを調べればよくなります。
注意すべき点：x=0では別に考える必要がある
ここで注意したいのは、x=0の場合です。
x^(√x-1/2)という形では、x=0を代入すると指数が-1/2になるため、
0^(-1/2)
という形になり、通常の実数の範囲では定義できません。
そのため、微分の計算では基本的にx>0として扱います。
グラフを書く場合には、x=0付近の様子を別途確認する必要があります。
まとめ：底が正の数なら指数部分に関係なく結果は正になる
x^(√x-1/2)>0となる理由は、xが正の数であり、正の数をどんな実数の指数で累乗しても結果は必ず正になるという指数関数の性質によるものです。
指数√x-1/2が正でも負でも、x^(√x-1/2)は0以下にはなりません。
そのため、微分した式の符号を調べるときには、この項は常に正の因子として扱うことができ、増減を決める部分から外して考えられます。
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