∫₀∞ sinx/x^a dxは収束するが絶対収束しないことの証明｜条件収束と絶対収束の違い

広義積分では、値そのものは有限に近づくものの、絶対値を取ると発散してしまう「条件収束」という現象があります。特に∫₀∞sinx/x^a dx（0

この記事では、なぜsinx/x^aの積分が収束し、|sinx/x^a|の積分が発散するのかを、0付近と∞での挙動に分けてわかりやすく解説します。

まず0付近での収束を確認する

考える積分は、0

∫₀∞ sinx/x^a dx

広義積分なので、まずx=0付近で問題がないか確認します。xが0に近いとき、sinxはxとほぼ同じ値になります。

つまり、sinx/x^aはおおよそx/x^a=x^(1-a)と考えることができます。

次に∞での収束を調べます。sinxは周期的に振動するため、単純な比較ではなく、部分積分を利用します。

I=∫₁^R sinx/x^a dxとおきます。

部分積分で、u=1/x^a、dv=sinx dxとすると、du=-a/x^(a+1)dx、v=-cosxとなります。

したがって、

I=[-cosx/x^a]₁^R-a∫₁^R cosx/x^(a+1)dx

となります。

R→∞とすると、cosR/R^aは0に近づきます。また、後半の積分は1/x^(a+1)が十分速く減少するため収束します。

よって、∫₁∞sinx/x^a dxは収束し、全体として∫₀∞sinx/x^a dxも収束します。

次に、絶対値を付けた場合を考えます。

∫₀∞|sinx/x^a|dx=∫₀∞|sinx|/x^a dx

ここで重要なのは、通常の積分ではsinxの正負の部分が互いに打ち消し合うことで収束していたという点です。

しかし絶対値を付けると、負の部分もすべて正になるため、打ち消し効果がなくなります。

|sinx|は周期関数であり、一定の範囲では必ずある程度以上の大きさを持ちます。

例えば、2πの1周期ごとに考えると、sinxが正負に関係なく、|sinx|は0ではない部分が存在します。

そのため、各周期区間について、

∫ₙπ^(n+1)π |sinx|/x^a dx

を考えると、おおよそ1/n^a程度の大きさになります。

さらに各周期で同じような量が無限回現れるため、全体としては次の級数と同じ性質になります。

Σ1/n^a

これはp級数と呼ばれ、0

したがって、

∫₀∞|sinx/x^a|dx

は収束しません。

今回の例は、数学で重要な「条件収束」の典型例です。

ある積分が収束しても、その絶対値を取った積分が収束するとは限りません。

絶対値を取った積分も収束する場合を絶対収束、元の積分だけが収束する場合を条件収束と呼びます。

今回の場合、sinxの振動による正負の打ち消しによって収束していますが、絶対値を取ることでその効果が消えるため条件収束になります。

その理由は、0付近ではsinx≈xによって問題なく、∞ではsinxの振動と部分積分による減衰によって収束するためです。

一方、絶対値を付けた∫₀∞|sinx/x^a|dxでは、振動による打ち消しがなくなり、各周期で正の値が積み重なります。その結果、p級数Σ1/n^aと同じ性質になり、0

この例は、広義積分における条件収束と絶対収束の違いを理解するための重要な教材となっています。