広義積分の収束判定では、積分区間の端点で関数がどのような挙動をするかを調べることが重要です。今回は、a>0に対して∫₀∞x^(a-1)/(x+1)dxが収束する条件を、0付近と∞で分けて考えます。
この積分はベータ関数やガンマ関数とも関係する有名な例ですが、基本的な比較判定法を使うことで収束条件を理解できます。
問題の積分と収束判定の考え方
考える積分は次のものです。
∫₀∞x^(a-1)/(x+1)dx （a>0）
区間が0から∞まであるため、そのままではなく、0付近と∞付近でそれぞれ積分が有限になるかを確認します。
つまり、
・x→0で発散しないか
・x→∞で発散しないか
を調べれば、広義積分の収束条件が分かります。
xが0に近い場合の収束条件
まずx→0の場合を考えます。
xが0に近いとき、分母のx+1はほぼ1になるため、被積分関数は次のように近似できます。
x^(a-1)/(x+1)≈x^(a-1)
したがって、0付近での収束性は次の積分と同じになります。
∫₀¹x^(a-1)dx
この積分は指数関数の積分公式より、
∫₀¹x^(a-1)dx=1/a
となります。
a>0であれば有限値になるため、x=0付近では必ず収束します。
xが∞に近い場合の収束条件
次にx→∞での挙動を調べます。
xが大きくなると、分母のx+1はxとほぼ同じになるため、
x^(a-1)/(x+1)≈x^(a-1)/x=x^(a-2)
と考えることができます。
したがって、∞付近では次の積分の収束性を調べればよいことになります。
∫₁∞x^(a-2)dx
一般に、
∫₁∞x^pdx
はp<-1のとき収束し、p≥-1のとき発散します。
ここでp=a-2なので、
a-2<-1
を満たす必要があります。
整理すると、
a<1
となります。
収束するaの範囲をまとめる
ここまでの結果を整理すると、0付近ではa>0なら収束し、∞付近ではa<1なら収束します。
したがって両方の条件を満たす範囲は、
0<a<1
となります。
つまり、
∫₀∞x^(a-1)/(x+1)dx
は0<a<1のとき収束し、a≥1では発散します。
a=1の場合に発散する理由
a=1を代入すると、積分は、
∫₀∞1/(x+1)dx
になります。
これは対数関数の積分であり、
∫₀^R1/(x+1)dx=log(R+1)
となります。
Rを∞に近づけるとlog(R+1)は無限大になるため、a=1では発散します。
a>1の場合に発散する理由
a>1では、∞付近で被積分関数はx^(a-2)と同程度になります。
例えばa=2の場合、
x^(a-2)=x^0=1
となり、積分しても有限値になりません。
さらにaが大きくなるほど∞での減少が弱くなるため、積分はより発散しやすくなります。
まとめ
積分∫₀∞x^(a-1)/(x+1)dxの収束判定では、0付近と∞付近を分けて調べることがポイントです。
x→0ではx^(a-1)の積分となり、a>0なら収束します。
x→∞ではx^(a-2)の積分となり、a<1でなければ収束しません。
したがって最終的な収束条件は、
0<a<1
となります。
広義積分の収束判定では、端点ごとの関数の近似と、べき関数の積分条件を利用すると、多くの問題を体系的に解くことができます。
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