はさみうちの原理で不等式を作る方法｜上下の式（◇と△）の決め方を徹底解説

はさみうちの原理を使う極限の問題では、「何をどの式ではさめばよいのか」が最大のポイントになります。三角関数やガウス記号のように形が見えやすい問題では判断しやすい一方、複雑な数列や関数では上下の式の作り方に迷うことがあります。

この記事では、はさみうちの原理で使う不等式の作り方について、どのような視点で◇や△を決めればよいのか、具体的な考え方を解説します。

はさみうちの原理で重要なのは「同じ極限になる式」を探すこと

はさみうちの原理とは、ある数列や関数が別の2つの式の間にはさまれていて、その2つの式が同じ値に近づくなら、はさまれている式も同じ値に近づくという考え方です。

つまり、◇≦○≦△という形を作るときに重要なのは、単純に上下から押さえることではなく、◇と△が同じ極限値になるように選ぶことです。

そのため、まず「真ん中の式○がどのような値に近づきそうか」を考え、その値に近づく簡単な式を上下に配置します。

はさみうちの式を作るときは、いきなり不等式を作ろうとせず、与えられた式の特徴を見ることが大切です。

例えば、sinやcosが含まれている場合は、-1≦sinx≦1のような基本的な性質が利用できます。また、絶対値がある場合は、正負の関係を利用して範囲を決めます。

一方で、複雑なnの式の場合は、分母や分子の成長速度を比較することから始めます。

例えば、a_n=(n+1)/(n²+3)のような式を考える場合、nが大きくなると分子はn程度、分母はn²程度になります。

この場合、全体としては1/n程度の大きさになるため、0に近づくことが予想できます。

そこで、上下を0や1/nのような簡単な式ではさめないかを考えます。はさみうちでは、複雑な式を完全に変形するよりも、近い大きさの簡単な式を見つけることが重要です。

はさみうちの原理でよくある誤解は、先に◇と△を思いつかなければならないと思うことです。しかし実際には、真ん中の式から不等式を作っていきます。

例えば、ある項にn²やn³が含まれているなら、nが十分大きいときにどちらが大きいかを考えます。

具体例として、0≦sin²n≦1という関係があるため、sin²n/n²のような式なら、0≦sin²n/n²≦1/n²と変形できます。そして両端が0に近づくため、中央も0に近づくと判断できます。

はさみうちの原理では、毎回ゼロから考えるのではなく、頻出する形を覚えておくと便利です。

代表的なものには、以下のようなものがあります。

・-1≦sinx≦1
・-1≦cosx≦1
・0≦|x|
・分母が大きくなると全体が小さくなる関係

これらを利用して、複雑な式を「挟める形」に変換していきます。

はさみうちの原理で上下の式を決める力は、確かに問題演習によって身につきます。しかし、単なる暗記や経験だけではありません。

基本となる考え方は、「真ん中の式をどの程度の大きさの式で評価できるか」を考えることです。

nが大きくなるとき、n、n²、n³、lognなどがどのような速さで増えるのかを理解すると、複雑な式でも自然に適切なはさみ方が見えてきます。

はさみうちの原理で◇と△を決めるときは、適当に上下の式を探すのではなく、まず真ん中の式の特徴を分析することが大切です。

ポイントは「中央の式と同じ極限になる簡単な式を上下に作ること」です。三角関数なら基本的な範囲、不等式なら大小関係、数列なら成長速度を利用します。

問題演習を重ねることで判断力は向上しますが、最も重要なのは「この式はどれくらいの大きさなのか」を考える習慣を身につけることです。