数Ⅲの定積分で面積を求める問題では、基本的に「上にあるグラフの式−下にあるグラフの式」を積分することで面積を求めます。しかし、グラフが複雑な場合には、どちらが上なのか判断しにくく、絶対値を使って処理したくなることがあります。この記事では、定積分で面積を求める際に絶対値を使う考え方や、使ってはいけないケースについて詳しく解説します。
定積分で面積を求める基本は「上の式−下の式」
2つの曲線に囲まれた部分の面積を求める場合、基本となる考え方は「上側の関数から下側の関数を引く」というものです。
例えば、2つの関数y=f(x)、y=g(x)があり、区間a≦x≦bで常にf(x)のグラフが上、g(x)のグラフが下にある場合、面積Sは次のように表されます。
S=∫[a,b]{f(x)-g(x)}dx
これは、各xの位置でできる縦の細い長方形の高さが「上の値−下の値」になるためです。
もし引き算を逆にしてしまうと、積分結果はマイナスになります。しかし、面積は必ず0以上の値なので、その場合は符号を直す必要があります。
単純な場合なら絶対値を使っても問題ない
では、「上の式−下の式」を気にせず、最後に絶対値をつければよいのではないかという疑問が出てきます。
実際、2つの関数の上下関係が区間全体で変化しない場合には、絶対値を利用する考え方でも答えを求めることができます。
例えば、f(x)とg(x)の差が常に正、または常に負である区間では、
S=｜∫[a,b]{f(x)-g(x)}dx｜
としても同じ面積になります。
つまり、グラフの上下関係が一度も入れ替わらない単純な問題では、絶対値による処理でも結果は一致します。
絶対値だけでは危険な場合とは
問題になるのは、区間の途中で2つのグラフの上下が入れ替わる場合です。
例えば、x軸と放物線y=x²-1で囲まれる面積を考えます。この関数は、x=-1とx=1でx軸と交わります。
-1＜x＜1では、y=x²-1は負の値になります。そのため、x軸が上、放物線が下になります。
しかし、別の区間では上下関係が変わる可能性があります。このような場合、単純に積分して最後に絶対値をつけると、正しい面積にならないことがあります。
理由は、定積分では「正の面積」と「負の面積」が打ち消し合ってしまうためです。
具体例：符号が打ち消されるケース
例えば、関数y=xを区間-1≦x≦1でx軸との面積を考えます。
この場合、xが正の部分ではグラフはx軸より上、xが負の部分ではグラフはx軸より下になります。
定積分をすると、
∫[-1,1]x dx=0
となります。
しかし、実際の面積は0ではありません。左右に同じ大きさの三角形が存在するため、面積は正の値になります。
この場合、最後に絶対値をつけても、
｜0｜=0
となり、正しい面積を求めることはできません。
正しく求めるには、x=0を境に区間を分けて、それぞれの面積を足します。
S=∫[-1,0](-x)dx+∫[0,1]x dx
のように計算する必要があります。
絶対値を使うなら関数の絶対値として考える
面積を求める場合、最後に積分結果の絶対値を取るのではなく、被積分関数そのものを絶対値にする考え方があります。
つまり、
S=∫[a,b]|f(x)-g(x)|dx
とする方法です。
これは、各場所で必ず高さを正の値として扱うため、上下関係が変わる場合でも正しい面積を求められます。
ただし、絶対値を含む積分を計算する場合は、どこでf(x)-g(x)の符号が変わるかを調べ、必要なら区間を分ける必要があります。
まとめ
定積分で面積を求めるときの基本は「上の式−下の式」です。これは、各位置での縦の長さを正しく表すために必要な考え方です。
上下関係が区間全体で変わらない場合は、積分結果に絶対値をつけても同じ答えになることがあります。
しかし、グラフが途中で交差する場合は、最後に絶対値をつけるだけでは不十分です。積分の途中で正負が打ち消し合うため、交点を求めて区間を分ける必要があります。
面積問題では「結果を絶対値にする」のではなく、「面積になる高さを常に正しく作る」という考え方を持つことが重要です。
コメント