二次関数の最大・最小で場合分けは2通り？3通り？正しい分け方の判断基準を解説

数Iの二次関数の最大値・最小値問題では、「場合分けが2つになるときと3つになるときの違いが分からない」という疑問がよく出てきます。本記事では、場合分けの基準を整理し、どのようなときに2分割で足りるのか、3分割が必要なのかを解説します。

場合分けの基本は「軸と区間の位置関係」

二次関数の最大・最小問題では、頂点（軸）の位置と定義域の関係が重要になります。

関数の最小・最大は「頂点で取る場合」と「端点で取る場合」に分かれるため、この位置関係によって場合分けが発生します。

基本的には「軸が区間の中にあるか外にあるか」で考えると整理できます。

3つに分ける場合は、軸が区間の左・中・右の3パターンで変化する場合です。

例えば「xの範囲が固定区間で、頂点の位置がその内部か外部かで最適値が変わるとき」がこれに該当します。

この場合は「左側にある」「区間内にある」「右側にある」の3分類が必要になります。

2つの分類で十分なのは、境界の片側が本質的に同じ評価になる場合です。

例えば軸が区間の外にあるとき、左右どちらに外れても「端点で評価するだけ」で同じ構造になるケースがあります。

このような場合は「区間内か外か」の2分割で十分です。

例えば y = (x-2)^2 のような関数で、xの範囲が [0,4] の場合を考えます。

頂点x=2は区間内なので「区間内パターン」と「端点パターン」の比較になります。

一方、頂点がx<0やx>4にある場合は、どちらも端点評価になるためまとめて扱えます。

場合分けを減らすポイントは「頂点が区間に入るかどうか」を最初に確認することです。

その後、左右で本質的に違う評価になるかを判断すれば、不要な分割を避けられます。

図を描いて整理すると、どのケースが重複しているかが視覚的に分かりやすくなります。

二次関数の最大・最小の場合分けは、頂点と区間の位置関係で決まります。

3つに分けるのは「頂点が区間内か左右外か」で評価が変わるときです。

一方、左右の外側で同じ処理になる場合は2分割で十分です。