三角関数の方程式である「sinθ=0」や「cosθ=0」は、高校数学で頻出する基本問題です。一般解を求めるには、単に答えを暗記するのではなく、単位円や三角比の性質を利用して解がどこに存在するのかを考えることが大切です。この記事では、sinθ=0とcosθ=0の一般解を求める考え方から、公式として整理する方法まで丁寧に解説します。
一般解とは何かを理解する
三角関数の方程式における「一般解」とは、特定の範囲だけではなく、すべての角度について成り立つ解を表したものです。
例えば、0≦θ＜2πの範囲だけで考えると解は限られます。しかし、角度は何周も回転できるため、2π（360度）ごとに同じ位置に戻ります。そのため、一般解では「2πn」のように周期を表す整数nを使います。
ここでnは整数を表します。つまり、n=0、1、−1、2のようにすべての整数を代入できるという意味です。
sinθ=0の一般解を求める考え方
まずsinθ=0を考えます。正弦（sin）は、単位円上の点のy座標を表しています。
単位円で考えると、y座標が0になる場所は、円とx軸が交わる2つの点です。これは角度でいうとθ=0とθ=π（180度）の位置になります。
つまり、0≦θ＜2πの範囲では、sinθ=0となる角度は次の2つです。
θ=0、π
さらに円を何周しても同じ位置でsinθは0になります。1周するごとに角度は2π増えるため、
θ=0+2πn
または
θ=π+2πn
となります。
この2つの式はまとめることができ、sinθ=0の一般解は次のようになります。
sinθ=0 の一般解：θ=nπ（nは整数）
これは、πずつ進んだ角度では必ずsinの値が0になるという意味です。
cosθ=0の一般解を求める考え方
次にcosθ=0を考えます。cosは単位円上の点のx座標を表します。
x座標が0になる場所は、円とy軸が交わる点です。0≦θ＜2πでは、角度はπ/2と3π/2になります。
したがって、cosθ=0となる角度は、
θ=π/2、3π/2
です。
ここから周期を考えます。cosは2πごとに同じ値を繰り返しますが、πだけ進んだ位置でもcosの符号が変化するため、0になる位置はπごとに現れます。
そのため、
θ=π/2+πn
と表すことができます。
cosθ=0 の一般解：θ=π/2+πn（nは整数）
sinとcosの一般解を覚えるポイント
sinθ=0の場合は、単位円で横軸（x軸）上にある点を探します。つまり、角度が0、π、2π、3π…となる場所です。
そのため、sinθ=0は「πの整数倍」と覚えると分かりやすくなります。
一方、cosθ=0の場合は縦軸（y軸）上にある点を探します。最初の位置がπ/2で、その後はπごとに繰り返されます。
そのため、cosθ=0は「π/2からπずつ移動」と考えると理解できます。
具体例で一般解を確認する
例えばsinθ=0の一般解では、θ=nπです。
n=0の場合はθ=0、n=1の場合はθ=π、n=2の場合はθ=2πになります。どの角度でもsinの値は0になります。
またcosθ=0では、θ=π/2+πnです。
n=0ならθ=π/2、n=1ならθ=3π/2、n=−1ならθ=−π/2となり、すべてcosθ=0を満たします。
まとめ
sinθ=0とcosθ=0の一般解は、単位円を使って考えると自然に求めることができます。
sinθ=0ではy座標が0になる場所を探すため、解はπの整数倍となり、一般解はθ=nπ（nは整数）です。
cosθ=0ではx座標が0になる場所を探すため、解はπ/2からπごとに現れ、一般解はθ=π/2+πn（nは整数）になります。
公式だけを暗記するよりも、単位円上でどの位置の値を求めているのかを理解すると、三角関数の方程式を応用問題でも解きやすくなります。
コメント