大・中・小の3つのサイコロを同時に振ったとき、出た目の和が4の倍数になる確率を求める問題は、単純に場合分けすると大変ですが、4で割った余りに注目すると効率よく解けます。この記事では、確率の求め方を順を追って解説します。
問題の確認
大中小の3つのサイコロは区別できるので、全事象は次の通りです。
6×6×6＝216通り
このうち、目の和が4の倍数になる場合の数を求めます。
4で割った余りに注目する
サイコロの目を4で割った余りごとに分類します。
| 余り | 対応する目 | 個数 |
|---|---|---|
| 0 | 4 | 1 |
| 1 | 1,5 | 2 |
| 2 | 2,6 | 2 |
| 3 | 3 | 1 |
和が4の倍数になるためには、3つの余りの和が4の倍数になればよいことになります。
条件を満たす余りの組み合わせ
余りの和が0（mod4）になる組み合わせを考えます。
- 0,0,0
- 1,1,2
- 2,2,0
- 3,3,2
- 1,3,0
- 2,3,3
- 1,1,1
- 2,2,2
- 3,3,3
これらについて順列も考慮しながら場合の数を数えます。
場合の数を計算する
各余りの出現数を利用して計算します。
| 組み合わせ | 場合の数 |
|---|---|
| (0,0,0) | 1 |
| (1,1,2) | 3×2×2×2=24 |
| (2,2,0) | 3×2×2×1=12 |
| (3,3,2) | 3×1×1×2=6 |
| (1,3,0) | 6×2×1×1=12 |
| (2,3,3) | 3×2×1×1=6 |
| (1,1,1) | 2×2×2=8 |
| (2,2,2) | 2×2×2=8 |
| (3,3,3) | 1 |
合計すると、1+24+12+6+12+6+8+8+1＝78通りです。
確率を求める
求める確率は
78÷216＝13÷36
となります。
答え：13/36
別解：対称性を利用する考え方
実は3個のサイコロの和を4で割った余りは、0・1・2・3がほぼ均等に現れます。しかしサイコロの目は4の倍数ごとの個数が完全に均等ではないため、厳密には数え上げが必要です。
そのため、受験や定期テストでは余りごとに分類する方法が最も確実です。
まとめ
3つのサイコロの和が4の倍数になる確率は、各目を4で割った余りに注目して求めることができます。余り0・1・2・3の出現数を利用して場合の数を数えると、有利な場合は78通り、全体は216通りなので、求める確率は13/36となります。
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