北辰テストや定期テストの最後の方に出る三角形の面積比や線分比の問題は、相似を使わずに合同や高さの関係だけで解くことも可能です。ここでは、相似を使わないで面積比を求める方法と練習問題を紹介します。
面積比は底辺と高さで決まる
三角形の面積は 面積＝(底辺×高さ)/2 です。
同じ高さの三角形であれば、面積比は底辺の比と同じになります。つまり、高さが等しい場合、面積比＝底辺比 です。
合同を利用して線分比を求める
三角形の一部が合同であれば、合同部分の辺や高さが等しいことがわかります。これを利用すると、全体の三角形の面積比や線分比を計算できます。
練習問題1
△ABCの点DがBC上にあり、ADが高さとなる。△ABDと△ADCの高さは共通。BD：DC＝2：3のとき、△ABD：△ADCの面積比を求めよ。
解法：高さは等しいので、面積比＝底辺比＝BD：DC＝2：3
練習問題2
△ABCの点E、FがAB、AC上にあり、△AEFの高さは△ABCの高さと等しい。AF：FC＝1：2のとき、△AEF：△ABCの面積比を求めよ。
解法：高さは等しいので面積比＝底辺比＝AF：AC＝1：3
練習問題3（少し応用）
△ABCの点D、EがBC上にあり、AD、AEがそれぞれ△ABCの高さに平行な線分を作る。AD：DB＝3：2、AE：EC＝1：4のとき、△ABD：△AECの面積比を求めよ。
解法：それぞれの三角形の高さが等しいので、面積比＝底辺比＝AD：AE＝3：1
ポイントまとめ
- 相似を使わずに面積比を求める場合は、高さが等しい三角形を見つける
- 合同を利用すると線分比や高さの情報を活用できる
- 面積比＝底辺比を使えば計算が簡単になる
- 北辰テストや定期テストの最後の練習に最適
これらの手法を身につけると、相似を使わない問題でも効率よく面積比や線分比を求められるようになります。
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