最大公約数と最小公倍数が与えられたときに元の2つの数を求める問題は、中学校数学でよく出題されます。一見難しそうですが、最大公約数を利用して数を置き換えると、規則的に解くことができます。この記事では、最大公約数が48、最小公倍数が3360である2つの自然数の組を求める方法を、中学生にもわかるように解説します。
まずは最大公約数を使って数を表す
2つの自然数をそれぞれ48a、48bとします。
ここでaとbは互いに素（最大公約数が1）です。なぜなら、48がすでに最大公約数だからです。
例えば240と672なら、240÷48=5、672÷48=14となり、5と14の最大公約数は1になります。
最大公約数と最小公倍数の公式を使う
次の公式が成り立ちます。
2つの数の積＝最大公約数×最小公倍数
したがって、求める2数を48a、48bとすると
48a×48b＝48×3360
両辺を48で割ると
48ab＝3360
さらに48で割ると
ab＝70
70を互いに素な2数に分ける
70を素因数分解すると
70＝2×5×7
aとbは互いに素なので、同じ素因数を共有してはいけません。
70の因数の組を調べると次のようになります。
| a | b | 互いに素か |
|---|---|---|
| 1 | 70 | ○ |
| 2 | 35 | ○ |
| 5 | 14 | ○ |
| 7 | 10 | ○ |
この中から、問題で求める自然数の組を作ります。
元の数に戻してみる
それぞれ48を掛けます。
| a,b | 元の2数 |
|---|---|
| 1,70 | 48と3360 |
| 2,35 | 96と1680 |
| 5,14 | 240と672 |
| 7,10 | 336と480 |
問題の解答例として挙げられている組は
- 240と672
- 336と480
です。
これらを確認すると、どちらも最大公約数は48、最小公倍数は3360になります。
なぜ240と672が成り立つのか
240＝48×5、672＝48×14です。
5と14は互いに素なので、最大公約数は48になります。
最小公倍数は48×5×14＝3360です。
336と480の場合も、336＝48×7、480＝48×10で、7と10が互いに素なので同様に成り立ちます。
このタイプの問題の解き方のコツ
最大公約数がG、最小公倍数がLの場合は、まず2数をG×a、G×bと置きます。
その後、ab＝L÷Gを求めます。
最後に、abの因数の組のうち互いに素なものを探し、Gを掛けて元の数に戻します。
この流れを覚えておくと、同じ形式の問題を効率よく解けるようになります。
まとめ
最大公約数48、最小公倍数3360の問題では、2数を48a、48bと置くことがポイントです。公式を使うとab＝70となり、70を互いに素な因数の組に分けることで解を求められます。代表的な組は240と672、336と480です。最大公約数でくくり出して考える方法を覚えておくと、類題にも対応しやすくなります。
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