無限集合Aに対して、Aと交わらない集合Bを追加した場合に、|B|≦|A|ならば|A∪B|=|A|が成り立つのか、また逆も成立するのかという問題があります。ここではカントールの無限集合論の観点から整理して説明します。
前提条件
集合A、Bは無限集合であり、A∩B=∅とします。無限集合の濃度については、標準的なカントールの定義に従います。
命題の証明（|B|≦|A|⇒|A∪B|=|A|）
|B|≦|A|とは、BからAへの単射f:B→Aが存在することを意味します。これを用いて、A∪BからAへの全単射を構成できます。
具体的には、各b∈Bをf(b)∈Aに対応させ、Aの元はそのまま写すことで全単射g:A∪B→Aを作ることが可能です。この全単射の存在により、|A∪B|=|A|が成立します。
逆命題の証明（|A∪B|=|A|⇒|B|≦|A|）
|A∪B|=|A|ならば、A∪BからAへの全単射h:A∪B→Aが存在します。この全単射をBに制限すれば、BからAへの単射h|_B:B→Aが得られます。したがって、|B|≦|A|が成立します。
まとめ
以上より、無限集合A、BでA∩B=∅の場合、以下が成立します。
- |B|≦|A|⇔|A∪B|=|A|
重要なのは、無限集合の濃度の定義に基づき単射や全単射の存在を用いることで、この命題が厳密に成立することです。有限集合とは異なり、無限集合では「追加しても濃度が変わらない」という現象が起こります。
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