整数集合問題の解法：絶対値と二次不等式による要素の個数の求め方

整数集合に関する問題では、絶対値や二次不等式の条件から集合の要素数を正確に求めることが重要です。ここでは、与えられた集合AとBの条件に従って、要素の個数を求める手順と考え方を解説します。

集合Aの要素数が5の場合のaの求め方

集合AはA={x | |x+1| < a}と定義されています。絶対値の条件を展開すると、-a < x+1 < aとなります。整数xの範囲は、-a -1 < x < a -1です。

この範囲内に含まれる整数の個数が5であることから、aを求めます。整数の個数は上限と下限を使って計算できます。例えば、整数xは- a < x+1 < aの範囲にあるため、xは- a -1 < x < a -1。

したがって、a = 3となります。確認すると、x = -2, -1, 0, 1, 2の5個の整数が含まれます。

集合BはB={x | x² – (2b+c)x + b² + bc <= 0}です。二次不等式の標準形はx² – (2b+c)x + b(b+c) <= 0となります。二次方程式の解を求めると、因数分解できて、x(x-(b+c)) <= 0、つまり0 <= x <= b+cです。

整数の個数はb+c+1個となります（0を含む場合）。したがって、集合Bの要素数はb+c+1です。

補集合Āは全体集合からAを引いた集合です。Aの範囲は-2≤x≤2なので、Ā⋂Bが1個である場合、Bの中でAに含まれない整数は1個である必要があります。

Bの整数範囲は0≤x≤b+c。Aの範囲を引くと、x=3の場合のみ残るなら、b+c ≥3となります。また、次の条件で1個となる場合はb+c=3となります。

b+c=3の整数解は、b≥0, c≥1（cは正の整数）とすると、b=0,c=3;b=1,c=2;b=2,c=1;b=3,c=0の4通りとなります。

このように絶対値条件や二次不等式の条件から整数範囲を求めることで、集合の要素数や組の条件を導くことができます。