陰関数 y=φ(x) の積分 ∫φ(x)dx の求め方：x^2 + 2y^2 + y^3 - 2xy = 0 の場合

与えられた陰関数 x^2 + 2y^2 + y^3 – 2xy = 0 から求まる y=φ(x) に対して、∫φ(x)dx を求める方法について解説します。陰関数の積分では、まず微分方程式の形に変形することが重要です。

陰関数の微分

陰関数 F(x,y)=x^2 + 2y^2 + y^3 – 2xy = 0 を x で微分すると、暗黙微分法により以下が得られます。

dF/dx = ∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0

各偏導関数を計算すると。

したがって、dy/dx = (2y – 2x)/(4y + 3y^2 – 2x)

この形の微分方程式は直接積分が難しいため、代数変形または y と x の関係を利用して ∫y dx を陰関数の形で表すのが現実的です。

陰関数積分の基本公式として、F(x,y)=0 から ∫y dx = xy – ∫x dy が利用できます。

ここで x を y の関数とみなし、∫y dx = xy – ∫x dy と書き換えると、x を y の式に置き換えることで積分が可能になります。具体的には、x = (x^2 + 2y^2 + y^3)/(2y) の形に整理し、積分を行います。

結論として、∫φ(x) dx は陰関数積分の公式を用いて次の形で表されます。

∫φ(x) dx = xφ(x) – ∫x dφ(x)

必要に応じて、x を y の式に置き換えて積分を計算します。この方法は、解析的に φ(x) を明示できない場合でも有効であり、陰関数積分の一般的なテクニックとなります。