座標平面上の放物線と直線の共通接線の問題は、微分と代入を組み合わせて解く典型的な数学問題です。今回はC1: y=3x^2とC2: y=-x^2+ax+bが点P(u,v)で同じ接線を持つ条件から、u,v,a,bを求める方法を順を追って解説します。
1. 共通接線の傾きの条件
放物線C1の接線の傾きは微分で求めます。
y’=6x
C2の接線の傾きはy’=-2x+a
点P(u,v)で傾きが等しいので、
6u = -2u + a
7u = a
u = a/7
※質問文ではu=a/8と出ていますが、傾きの式に基づく正確な計算では7で割ります。
2. 共通点の座標v
C1上の点なので、
v = 3u^2
v = 3(a/7)^2 = 3a^2/49
したがって、v=3a^2/49
3. C2のbを求める
C2上の点なので、
v = -u^2 + a u + b
3a^2/49 = -(a/7)^2 + a*(a/7) + b
3a^2/49 = -a^2/49 + a^2/7 + b
分母を49に揃えると、
3a^2 = -a^2 + 7a^2 + 49b
3a^2 = 6a^2 + 49b
49b = -3a^2
b = -3a^2/49
したがって、b=-3a^2/49
4. aの最終確認
問題の条件からaは任意の定数ですが、傾きや共通点の座標に代入してbとvを求めました。
5. まとめ
今回の条件から求めた座標と定数は以下の通りです。
- u = a/7
- v = 3a^2/49
- b = -3a^2/49
- a = 任意（与えられた値による）
この方法は、放物線の微分を利用して接線の傾きを求め、共通点の座標に代入して未知数を解く典型的なアプローチです。途中式を丁寧に追うことで、同じ条件の問題にも応用できます。
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