大学1,2年向け解説：t分布の確率密度関数が積分1になる理由

統計学でよく用いられるt分布は、自由度νを持つ連続確率分布であり、その確率密度関数(f(x))を全体で積分すると1になることが必要です。ここでは大学1,2年レベルで、なぜt分布が正規化されているのかを説明します。

t分布の定義

自由度νのt分布は次の確率密度関数を持ちます。

f(x) = Γ((ν+1)/2) / (√(νπ) Γ(ν/2)) × (1 + x²/ν)^(-(ν+1)/2)

ここでΓはガンマ関数です。

確率密度関数が積分1になるかどうかは、積分

∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1

を確認することで確かめます。

ポイントは次の変換を使うことです。

t = x / √ν ⇒ dt = dx / √ν, x²/ν = t²

積分範囲は±∞で変わらず、dxを√ν dtに置き換えると、積分がベータ関数の形に変形できます。

さらに、ベータ関数B(p,q)はガンマ関数で表現できます。

B(p,q) = Γ(p)Γ(q)/Γ(p+q)

t分布の積分はベータ関数とガンマ関数の関係を用いて

∫_{-∞}^{∞} (1 + x²/ν)^(-(ν+1)/2) dx = √(νπ) Γ(ν/2)/Γ((ν+1)/2)

となり、定義式にある係数を掛けると積分1になります。