中学数学の因数分解では、与えられた式に対して既知の値を使って簡単に計算することが重要です。今回のように、x+yやxyの値がわかっている場合、それを活用するために(x+y)²の展開を使う発想が出てきます。
(x+y)²を使う理由
問題ではx+y=4、xy=3と与えられています。このとき求めたい式がx²-xy+y²です。ここで、(x+y)²の展開式を思い出すと、(x+y)²=x²+2xy+y²となります。
この展開式を使うと、x²-xy+y²を次のように書き換えられます。
x²-xy+y² = (x²+2xy+y²) – 3xy = (x+y)² – 3xy
このように書き換えることで、与えられたx+y=4とxy=3を代入するだけで簡単に計算できるようになります。
計算の具体例
代入すると、(x+y)² – 3xy = 4² – 3×3 = 16 – 9 = 7
したがって、x²-xy+y²の値は7となります。
発想のポイント
なぜ(x+y)²を使うのかというと、既知の情報を直接利用できる形に式を変形するためです。x²+y²だけだとxyの情報を使えませんが、(x+y)²に直すことでxyも式に組み込めます。これは因数分解や展開の公式をうまく活用する典型例です。
まとめ
中学数学での因数分解や平方展開の発想は、与えられた値を効率よく活用するために使います。x+yやxyが与えられている場合は、(x+y)²やx²+y²の公式を思い出して式を変形すると、簡単に計算できるようになります。
コメント