統計学でよく用いられるt分布は、自由度νを持つ連続確率分布であり、その確率密度関数(f(x))を全体で積分すると1になることが必要です。ここでは大学1,2年レベルで、なぜt分布が正規化されているのかを説明します。
t分布の定義
自由度νのt分布は次の確率密度関数を持ちます。
f(x) = Γ((ν+1)/2) / (√(νπ) Γ(ν/2)) × (1 + x²/ν)^(-(ν+1)/2)
ここでΓはガンマ関数です。
積分1の理由
確率密度関数が積分1になるかどうかは、積分
∫_{-∞}^{∞} f(x) dx = 1
を確認することで確かめます。
変数変換とガンマ関数の利用
ポイントは次の変換を使うことです。
t = x / √ν ⇒ dt = dx / √ν, x²/ν = t²
積分範囲は±∞で変わらず、dxを√ν dtに置き換えると、積分がベータ関数の形に変形できます。
さらに、ベータ関数B(p,q)はガンマ関数で表現できます。
B(p,q) = Γ(p)Γ(q)/Γ(p+q)
ベータ関数による正規化
t分布の積分はベータ関数とガンマ関数の関係を用いて
∫_{-∞}^{∞} (1 + x²/ν)^(-(ν+1)/2) dx = √(νπ) Γ(ν/2)/Γ((ν+1)/2)
となり、定義式にある係数を掛けると積分1になります。
まとめ
- t分布は正規化された連続分布である。
- ガンマ関数とベータ関数の関係を用いると、積分が1になることを証明可能。
- 大学1,2年レベルでは変数変換と関数の公式を使うことで理解できる。
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