広義積分 ∫[0,π]√(sinx)/x dx の収束判定｜積分の比較法を用いた考え方

広義積分は、被積分関数が積分区間内で特異点を持つ場合に、積分が有限値に収束するかを判定する必要があります。今回は∫[0,π]√(sinx)/x dxの収束性を考えます。この積分では、x=0で分母が0になるため、特にこの点での挙動を解析することが重要です。

被積分関数の特異点を確認する

積分区間は[0,π]です。sinxは0からπまで非負で、0以外の点では正です。

問題となるのはx=0です。ここで√(sinx)/xの値は0/0型に見えますが、x→0での極限を調べます。

小角近似を用いると、sinx ≈ xとなるため、√(sinx)/x ≈ √x / x = 1/√x

したがって、x→0付近では√(sinx)/xの挙動は1/√xに似ていることが分かります。

x→0で√(sinx)/x ≈ 1/√x であるため、積分 ∫[0,1] 1/√x dx を比較します。

∫[0,1] x^(-1/2) dx = 2x^(1/2) |_[0]^1 = 2

有限値に収束するため、元の積分 ∫[0,1] √(sinx)/x dx も収束します。

x→πではsinx → 0ですが、√(sinx)/x ≤ 1/x です。

積分 ∫[1,π] 1/x dx = lnπ – ln1 = lnπ は有限なので、x→πでも積分は収束します。

したがって、積分区間全体 [0,π] で積分は収束します。

広義積分 ∫[0,π] √(sinx)/x dx は、x=0での1/√xに類似した挙動を比較積分により解析することで収束性が確認できます。

x→π付近でも有限値であることから、積分は全体で収束します。

結論として、この積分は有限の値に収束する広義積分です。