広義積分 ∫[0,1] logx/(1-x) dx は、積分区間の両端で特異点を持つため、収束性の判定が必要です。特に x→0 で logx が -∞ に発散し、x→1 で 1/(1-x) が発散するため、慎重に解析します。本記事では、この積分の収束性を段階的に解説します。
x→0 での挙動
x→0 付近では 1/(1-x) ≈ 1 です。したがって被積分関数は logx/(1-x) ≈ logx となります。
∫[0,ε] logx dx = x logx – x |_[0]^ε = ε logε – ε – (0 – 0) → 0 – 0 = 0
極限をとっても有限値に収束するため、x→0 付近では積分は収束します。
x→1 での挙動
x→1 付近では 1-x ≈ t (t=1-x と置換) とすると、dx = -dt、x=1→t=0、x<1→t>0 です。
積分は ∫[x=1-δ]^1 logx/(1-x) dx = ∫[t=δ]^0 log(1-t)/t (-dt) = ∫[0]^δ log(1-t)/t dt
ここで級数展開 log(1-t) = -t – t^2/2 – t^3/3 – … を用いると
∫[0]^δ log(1-t)/t dt = ∫[0]^δ (-1 – t/2 – t^2/3 – …) dt = -δ – δ^2/4 – δ^3/9 – … → 0
有限値に収束するため、x→1 付近でも積分は収束します。
全体の収束性
x→0 と x→1 の両端で積分が収束することが確認できたため、積分区間 [0,1] 全体で ∫ logx/(1-x) dx は収束します。
まとめ
広義積分 ∫[0,1] logx/(1-x) dx は、x→0 で logx による発散、x→1 で 1/(1-x) による発散が懸念されますが、いずれも有限値に収束することが確認できます。
級数展開や比較法を用いることで、両端の特異点を正しく解析し、積分が収束することを判断できます。
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