二次関数の最大値・最小値と定義域の境界条件｜a=2の場合の扱い

二次関数 y=-x^2+2x+1 の最大値・最小値を定義域 0≦x≦a (a>0) で求める問題では、最大値は頂点や端点で簡単に決まりますが、最小値は定義域の範囲によって変化します。特に a=2 の場合の最小値の扱いについて混乱しやすいので、数学的な観点から整理してみます。

関数の頂点と増減

与えられた関数 y=-x^2+2x+1 は下に凸の二次関数です。頂点の x 座標は x_v=-b/(2a) = -2/(2*-1) = 1 です。

頂点 x=1 で最大値 y_max=-(1)^2+2*1+1=2 となります。

関数は x=1 で最大値を取り、x<1 では増加、x>1 では減少します。

定義域による最小値の決定

最小値は下に凸の二次関数なので、定義域の端点で取ります。

定義域 0≦x≦a の場合:

• x=0 のとき y=-(0)^2+2*0+1=1
• x=a のとき y=-a^2+2a+1

したがって、最小値は端点の y 値のうち小さい方になります。

a の値による場合分け

端点の比較:

• 01? → 端点最小は y=1
• a=2: x=0 の y=1, x=2 の y=-4+4+1=1 → 両端 y=1 → 最小値 y=1
• a>2: x=0 の y=1, x=a の y=-a^2+2a+1 <1 → 最小値は y=-a^2+2a+1

数学的な解釈

あなたの書き方「1(02)」でも数学的にはほぼ同じ意味です。ただし a=2 の場合は端点両方の値が等しいので、解答では明示的に「1(a=2)」と分けて書くのが正確で、議論や証明上わかりやすい表現です。

つまり、a=2 の場合も最小値は y=1 で、あなたの表現と同じ結果ですが、教科書や解答では境界条件を明示的に示すため別扱いにしています。

まとめ

・二次関数 y=-x^2+2x+1 の定義域 0≦x≦a における最小値は端点で決まる。
・0・a=2 → 最小値 y=1（両端同値のため別記載）
・a>2 → 最小値 y=-a^2+2a+1
・数学的には a=2 の場合も「0