「たすきがけで因数分解しなさい」という問題は、中学・高校数学の中でも苦手意識を持つ人が多い単元です。
特に、
- どの数字を書くのか
- 斜めに掛ける意味
- 符号をどう決めるか
で混乱しやすく、「合っているのか不安」という状態になりやすいです。
この記事では、たすきがけの基本ルールから、実際の因数分解の流れまでを順番に整理して解説します。
たすきがけとは何か
たすきがけは、二次式を
（ax+b）（cx+d）
の形に分解するための方法です。
特に、x²の係数が1ではない場合によく使われます。
斜めに掛けて真ん中を作る
たすきがけでは、
- 外側同士
- 内側同士
を掛け、その和が真ん中の係数になるように考えます。
例えば、
3x²−5x−2
なら、
- 最初の係数は3
- 最後の定数は−2
です。
3x²−5x−2 の因数分解
まず、
3×(−2)=−6
を作ります。
次に、「掛けて−6、足して−5」になる数字を探します。
すると、
- −6 と +1
が見つかります。
たすきがけを書く
係数3の分解は、
3x と x
です。
定数−2の分解は、
−2 と +1
です。
たすきがけすると、
- 3x×1=3x
- x×(−2)=−2x
になり、
3x−2x=x
ではなく、真ん中が−5xになるよう並べ替えます。
正しくは、
(3x+1)(x−2)
です。
確認すると、
−6x+x=−5x
になります。
5x²+7x+2 の因数分解
次に、
5x²+7x+2
を考えます。
まず、
5×2=10
です。
「掛けて10、足して7」になる数は、
- 5 と 2
です。
実際に並べる
5x² の分解は、
5x と x
です。
2 の分解は、
1 と 2
です。
すると、
(5x+2)(x+1)
となります。
確認すると、
- 5x×1=5x
- x×2=2x
なので、
5x+2x=7x
となり一致します。
3x²+8x−3 の因数分解
まず、
3×(−3)=−9
です。
掛けて−9、足して8になる数字を探します。
すると、
- 9 と −1
です。
式に当てはめる
3x² の分解は、
3x と x
です。
−3 の分解は、
−1 と 3
です。
すると、
(3x−1)(x+3)
になります。
確認すると、
- 3x×3=9x
- x×(−1)=−x
で、
9x−x=8x
です。
8x²+6x+1 の因数分解
まず、
8×1=8
です。
掛けて8、足して6になる数字は、
- 4 と 2
です。
係数8を分ける
8x² は、
4x と 2x
に分けられます。
定数1は、
1 と 1
です。
すると、
(4x+1)(2x+1)
になります。
確認すると、
- 4x×1=4x
- 2x×1=2x
なので、
4x+2x=6x
になります。
たすきがけでよくあるミス
たすきがけでは、次のミスが非常に多いです。
| ミス | 原因 |
|---|---|
| 符号が逆 | 足し算だけ見ている |
| 真ん中が合わない | 斜めの掛け算確認不足 |
| 係数の分け方ミス | 8を1×8しか見ていない |
必ず最後に展開して元の式へ戻るか確認するのが重要です。
「書き方が合っているか不安」な時の確認方法
たすきがけは、途中式が多少違っても、最終的に展開して元に戻ればOKです。
つまり、
「展開して一致するか」
が最終チェックになります。
数学が苦手な場合は、まず
- 掛け算で最後の数
- 足し算で真ん中
を見る癖を付けるとかなり楽になります。
まとめ
たすきがけでは、まず
- 最初の係数×最後の数
- 掛けてその数になる組
- 足して真ん中になる組
を探すのが基本です。
今回の式の答えは、
- 3x²−5x−2=(3x+1)(x−2)
- 5x²+7x+2=(5x+2)(x+1)
- 3x²+8x−3=(3x−1)(x+3)
- 8x²+6x+1=(4x+1)(2x+1)
となります。
たすきがけは慣れるまで難しく感じますが、「斜めの積の合計が真ん中になる」というルールを意識すると整理しやすくなります。
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